Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/46

et $r+dr,$ on aura, par le n^o 46 du Livre II,

(2)

$\delta v_{1}={\frac {{\frac {2d(r\delta r)-dr\delta r}{a^{2}ndt}}+{\frac {3a}{\mu }}\iint ndt\operatorname {d} {\rm {R}}+{\frac {2a}{\mu }}\int ndtr{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}}{\sqrt {1-e^{2}}}},$

$a$ étant le demi-grand axe de l’orbe du satellite, $e$ étant le rapport de l’excentricité au demi-grand axe, et $nt$ étant le moyen mouvement du satellite.

En nommant $v$ l’angle décrit par la projection du rayon vecteur $r$ sur le plan fixe, on a, par le même numéro,

$dv=dv_{1}{\frac {\sqrt {\left(1+s^{2}\right)^{2}-{\frac {ds^{2}}{dv_{1}^{2}}}}}{\sqrt {1+s^{2}}}},$

$s$ étant la tangente de la latitude de $m$ au-dessus du plan fixe ; en sorte que, si l’on néglige le carré de $s,$ on a

$\delta v=\delta v_{1}.$

Pour déterminer $s,$ nous observerons que l’on a, par le n^o 15 du Livre II, $dv$ étant supposé constant,

$0=\left({\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s\right)\left(1-{\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\right)$

$-{\frac {1}{h^{2}u^{2}}}{\frac {ds}{dv}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}+{\frac {s}{h^{2}u}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial u}}+{\frac {1+s^{2}}{h^{2}u^{2}}}{\frac {\partial '{\rm {R}}}{\partial s}},$

${\frac {1}{u}}$ étant la projection du rayon vecteur $r$ sur le plan fixe ; $h^{2}$ étant une constante qui, dans l’orbite elliptique, est, par le n^o 20 du Livre II, égale à $\mu a\left(1-e^{2}\right)\,;$ enfin, la différence partielle ${\frac {\partial '{\rm {R}}}{\partial s}}$ étant relative au cas où l’on considère ${\rm {R}}$ comme fonction de $r,v$ et $s.$ Considérons ${\rm {R}}$ comme fonction de $r,v$ et $s,$ ainsi que nous l’avons fait dans le numéro précédent ; nous aurons

$du{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial u}}+ds{\frac {\partial '{\rm {R}}}{\partial s}}=dr{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}+ds{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}.$