![{\displaystyle -{\frac {m'''}{\left[(x'''-x)^{2}+(y'''-y)^{2}+(z'''-z)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {{\rm {S}}({\rm {X}}x+{\rm {Y}}y+{\rm {Z}}z)}{\rm {D^{3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bfb73718aab131ceceecfddf078aa92f5a7b748)
![{\displaystyle -{\frac {\rm {S}}{\left[(X-x)^{2}+(Y-y)^{2}+(Z-z)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}-{\rm {V.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641183b2169926fae313135994c3c63ea789fbad)
Cette fonction renferme toutes les forces perturbatrices du mouvement du satellite 
et l’on a vu, dans le no 46 du Livre II, que les équations différentielles de ce mouvement dépendent de ses différences partielles.
Rapportons ses coordonnées à d’autres plus commodes pour les usages astronomiques. Nommons 
l’angle compris entre l’axe des 
et la projection du rayon vecteur 
sur le plan des et des 
. Soit 
la \operatorname{tang}ente de la latitude de 
au-dessus de ce plan. On aura
En marquant dans ces expressions les quantités 
successivement d’un trait, de deux traits et de trois traits, on aura les expressions de 
Cela posé, si l’on néglige les quantités de l’ordre 
on trouvera, pour la partie de 
relative à l’action des satellites,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {m'r}{r'^{2}}}\left[\left(1-{\frac {1}{2}}s^{2}-{\frac {1}{2}}s'^{2}\right)\cos(v'-v)+ss'\right]\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {m'}{\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {m'rr'\left[ss'-{\frac {1}{2}}\left(s^{2}-s'^{2}\right)\cos(v'-v)\right]}{\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\\\\&+{\frac {m''r}{r''^{2}}}\left[\left(1-{\frac {1}{2}}s^{2}-{\frac {1}{2}}s''^{2}\right)\cos(v''-v)+ss''\right]\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {m''}{\left[r^{2}-2rr''\cos(v''-v)+r''^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {m''rr''\left[ss''-{\frac {1}{2}}\left(s^{2}-s''^{2}\right)\cos(v''-v)\right]}{\left[r^{2}-2rr''\cos(v''-v)+r''^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\\\\&+{\frac {m'''r}{r'''^{2}}}\left[\left(1-{\frac {1}{2}}s^{2}-{\frac {1}{2}}s'''^{2}\right)\cos(v'''-v)+ss'''\right]\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {m'''}{\left[r^{2}-2rr'''\cos(v'''-v)+r'''^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {m'''rr'''\left[ss'''-{\frac {1}{2}}\left(s^{2}-s'''^{2}\right)\cos(v'''-v)\right]}{\left[r^{2}-2rr'''\cos(v'''-v)+r'''^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8864e730be25036426750a37bf7d4d9a36e5bc4)
