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Si l’on suppose $b'$ considérablement plus grand que $h$, c’est-à-dire si l’on suppose l’épaisseur de la goutte fort petite par rapporta sa largeur, comme on l’a fait dans le numéro précédent, on peut alors déterminer $z$ par une approximation convergente. Pour cela, soit

${\frac {1}{b}}-{\frac {1}{b'}}={\frac {1}{b''}},$

et faisons

$u=b'+u'\,;$

$u'$ sera fort petit relativement à $b'$y et l’on aura

$\mathrm {U} ={\frac {b'}{b''}}(b''-u')-{\frac {u'^{2}}{2b''}}.$

Soit encore

$u'=u''-{\frac {u''^{2}}{2b'}}\,;$

on aura, en négligeant les quantités de l’ordre ${\frac {u'^{2}}{b'}},$

$\mathrm {U} ={\frac {b'}{b''}}(b''-u''),$

ce qui donne

$u^{2}-U^{2}={\frac {b'^{2}}{b''^{2}}}\left[2b''\left(1+{\frac {b''}{b'}}\right)u''-u''^{2}\right].$

Soit

$\mathrm {B} =b''\left(1+{\frac {b''}{b'}}\right),\qquad u''=\mathrm {B} (1-\cos \theta )\,;$

on aura, à très-peu près,

$dz=b''d\theta \left(\cos \theta -{\frac {b''}{2b'}}+{\frac {b''}{2b'}}\cos 2\theta \right),$

ce qui donne, en intégrant et en observant que $z$ est nul avec $u''$ et par conséquent avec $\theta ,$

(a)$\qquad \qquad \qquad \qquad z=b''\sin \theta -{\frac {b''^{2}}{2b'}}\theta +{\frac {b''^{2}}{4b'}}\sin 2\theta$

Nommons $h$ la valeur extrême de $z,$ et désignons par $\theta ''$ la valeur cor-