Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/421

d’où l’on tire

$dz=-b'd\mathrm {Z} \left[1-2\alpha b'^{2}(1-\mathrm {Z} )+\ldots \right],$

et par conséquent

${\frac {dy}{b'}}=-{\frac {\mathrm {Z} d\mathrm {Z} \left[1-2\alpha b'^{2}(1-\mathrm {Z} )+\ldots \right]}{\sqrt {1-\mathrm {Z} ^{2}}}}.$

Soit $\mathrm {Z} =\cos \theta \,;$ on aura

${\frac {dy}{b'}}=d\theta \cos \theta \left[1-2\alpha b'^{2}(1-\cos \theta )+\ldots \right],$

d’où l’on tire, en intégrant,

${\frac {y}{b'}}=\sin \theta -\alpha b'^{2}\left(2\sin \theta -\theta -{\frac {1}{2}}\sin 2\theta \right)\,;$

on aura donc, en supposant que la valeur extrême de $y$ est $l,$ que celle de $\theta$ est $\theta ',$ et que l’on a, par ce qui précède, $\alpha ={\frac {\sin \theta '}{ql}},$

${\frac {1}{b'}}={\frac {\sin \theta '}{l}}\left[1-{\frac {2l}{q\sin \theta '}}\left(1-{\frac {\theta '}{2\sin \theta '}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta '\right)\right]\,;$

ainsi, $l$ étant fort petit relativement à $q,$ lorsque les plans sont très-rapprochés, on a à fort peu près

${\frac {1}{b'}}={\frac {\sin \theta '}{l}}.$

Dans le cas de $\theta '$ égal à un angle droit, la fraction

${\frac {2l}{q\sin \theta '}}\left(1-{\frac {\theta '}{2\sin \theta '}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta '\right)$

devient

${\frac {2l}{q}}\left(1-{\frac {1}{4}}\pi \right).$

Si $l$ est $1$ millimètre, cette fraction, relativement à l’eau, est égale à ${\frac {2}{6{,}784}}\left(1-{\frac {1}{4}}\pi \right),$ ou ${\frac {1}{15{,}81}}\,;$ elle peut donc être négligée vis-à-vis de l’unité.