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Cela posé, on aura

${\frac {u{\cfrac {dz}{du}}}{\sqrt {1+{\cfrac {dz^{2}}{du^{2}}}}}}={\frac {u^{2}-ll'}{l'-l}}\sin \theta ',$

d’où l’on tire

$dz={\frac {\left(u^{2}-ll'\right)du\sin \theta '}{\sqrt {(l'-l)^{2}u^{2}-\left(u^{2}-ll'\right)^{2}\sin ^{2}\theta '}}},$

équation dont l’intégrale dépend de la rectification des sections coniques.

$\alpha$ n’étant plus supposé nul, on a

${\frac {1}{b}}={\frac {\sin \theta '}{l'-l}}-{\frac {2\alpha }{(l'-l)(l'+l)}}\int zudu,$

l’intégrale $\int zudu$ étant prise depuis $u=l$ jusqu’à $u=l'.$ On a

$\int zudu={\frac {1}{2}}u^{2}z-{\frac {1}{2}}\int u^{2}dz.$

Si l’on néglige les quantités de l’ordre $\alpha ,$ l’expression précédente de $dz$, substituée dans le second membre de cette équation, donnera

$\int zudu={\frac {1}{2}}u^{2}\int {\frac {\left(u^{2}-ll'\right)du\sin \theta '}{\sqrt {(l'-l)^{2}u^{2}-\left(u^{2}-ll'\right)^{2}\sin ^{2}\theta '}}}$

$-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\left(u^{2}-ll'\right)u^{2}du\sin \theta '}{\sqrt {(l'-l)^{2}u^{2}-\left(u^{2}-ll'\right)^{2}\sin ^{2}\theta '}}},$

et, par conséquent, on aura, aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{2}$ ^[1],

${\frac {1}{b}}={\frac {\sin \theta '}{l'-l}}\left[1-{\frac {\alpha u^{2}}{l+l'}}\int {\frac {\left(u^{2}-ll'\right)du}{\sqrt {(l'-l)^{2}u^{2}-\left(u^{2}-ll'\right)^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\right.$

$\left.+{\frac {\alpha }{l+l'}}\int {\frac {\left(u^{2}-ll'\right)u^{2}du}{\sqrt {(l'-l)^{2}u^{2}-\left(u^{2}-ll'\right)^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\right],$

les intégrales étant prises depuis $u=l$ jusqu’à $u=l'.$ Ces intégrales ne peuvent être déterminées que par approximation ; mais il nous suf-

1. Cette formule est évidemment inexacte, puisqu’elle contient $u$ en dehors du signe $\int$ et qu’ainsi elle donnerait, pour la constante ${\frac {1}{b}},$ une valeur variable. Il est aisé de rectifier l’analyse de l’auteur et de s’assurer qu’on a
   ${\frac {1}{b}}={\frac {\sin \theta '}{l'-l}}\left(1-{\frac {\alpha l'^{2}}{l+l'}}\int _{\sqrt {ll'}}^{l'}\mathrm {U} du-{\frac {\alpha l^{2}}{l+l'}}\int _{l}^{\sqrt {ll'}}\mathrm {U} du+{\frac {\alpha }{l+l'}}\int _{l}^{l'}\mathrm {U} u^{2}du\right).$

   où l’on a représenté par $\mathrm {U}$ l’expression ${\frac {u^{2}-ll'du}{\sqrt {(l'-l)^{2}u^{2}-\left(u^{2}-ll'\right)^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\quad$V. P.