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cune l’unité pour numérateur, et pour dénominateurs le plus grand et le plus petit des rayons osculateurs de la surface du fluide au point le plus bas d’où l’on compte les $z.$ Cette équation donne, en l’intégrant,

${\frac {u{\cfrac {dz}{du}}}{\sqrt {1+{\cfrac {dz^{2}}{du^{2}}}}}}-2\alpha \int zudu={\frac {u^{2}}{b}}+\mathrm {const} .$

Pour déterminer la constante, nous observerons qu’au point où le fluide touche la surface du cylindre on a

${\frac {\cfrac {dz}{du}}{\sqrt {1+{\cfrac {dz^{2}}{du^{2}}}}}}=-\sin \theta '.$

Je donne à $\sin \theta '$ le signe $-,$ parce qu’à ce point ${\frac {dz}{du}}$ est une quantité négative. En faisant donc commencer l’intégrale $\int zudu$ à ce point, et nommant $l$ le rayon du cylindre ou la valeur de $u$ à ce même point, on aura

const.$=-l\sin \theta '-{\frac {l^{2}}{b}},$

ce qui donne

${\frac {u{\cfrac {dz}{du}}}{\sqrt {1+{\cfrac {dz^{2}}{du^{2}}}}}}-2\alpha \int zudu={\frac {u^{2}-l^{2}}{b}}-l\sin \theta '.$

Supposons d’abord $\alpha$ nul, et nommons $l'$ le rayon du creux du tube ; $l'$ sera la valeur de $u$ au point où le fluide touche les parois du tube. À ce point on a

${\frac {\cfrac {dz}{du}}{\sqrt {1+{\cfrac {dz^{2}}{du^{2}}}}}}=\sin \theta '\,;$

on a donc à ce point

$l'\sin \theta '={\frac {l'^{2}-l^{2}}{b}}-l\sin \theta ',$

ce qui donne

${\frac {1}{b}}={\frac {\sin \theta '}{l'-l}}.$