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cédente donne, en y substituant pour ${\frac {1}{\mathrm {R} }}+{\frac {1}{\mathrm {R} '}}$ sa valeur,

(a)$\qquad \qquad {\frac {\left(1+q^{2}\right)r-2pqs+\left(1+p^{2}\right)t}{\left(1+p^{2}+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {2gz}{\mathrm {H} }}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b'}}\,;$

cette équation est aux différences partielles du second ordre : en l’intégrant, on aura deux fonctions arbitraires, que l’on déterminera par l’équation de la surface des parois du tube dans lequel le fluide est renfermé et par l’inclinaison des plans extrêmes de la surface du fluide, inclinaison qui, comme on l’a vu, doit être la même pour tous ces plans.

Lorsque la surface est de révolution autour de l’axe des $z,$ l’équation précédente se réduit aux différences ordinaires. En effet, $z$ devient alors une fonction de ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$ Soit $u={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,;$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial z}{\partial x}}=&{\frac {x}{u}}{\frac {dz}{du}},\qquad {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}={\frac {x^{2}}{u^{2}}}{\frac {d^{2}z}{du^{2}}}+{\frac {y^{2}}{u^{3}}}{\frac {dz}{du}},\\\\{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=&{\frac {xy}{u^{2}}}{\frac {d^{2}z}{du^{2}}}-{\frac {xy}{u^{3}}}{\frac {dz}{du}},\\\\{\frac {\partial z}{\partial y}}=&{\frac {y}{u}}{\frac {dz}{du}},\qquad {\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}={\frac {y^{2}}{u^{2}}}{\frac {d^{2}z}{du^{2}}}+{\frac {x^{2}}{u^{3}}}{\frac {dz}{du}}.\end{aligned}}$

L’équation précédente devient ainsi

(b)$\qquad \qquad \qquad {\frac {{\cfrac {d^{2}z}{du^{2}}}+{\cfrac {1}{u}}{\cfrac {dz}{du}}\left(1+{\cfrac {d^{2}z}{du^{2}}}\right)}{\left(1+{\cfrac {d^{2}z}{du^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {2gz}{\mathrm {H} }}={\frac {2}{b}}\,;$

car, au point $\mathrm {O} ,\ b$ est égal à $b'$ lorsque la surface est de révolution. Dans le cas où la surface est une couronne circulaire, $b$ et $b'$ étant inégaux, ${\frac {2}{b}}$ exprime alors la somme des deux fractions qui, ayant l’unité pour numérateur, ont pour dénominateurs le plus grand et le plus petit des rayons osculateurs au point le plus bas de la surface. On peut observer encore que, dans l’équation (b), le terme ${\frac {\cfrac {d^{2}z}{du^{2}}}{\left(1+{\cfrac {d^{2}z}{du^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}}$ représente ${\frac {1}{\mathrm {R} }},$