Soit donc (fig. 3) le point le plus bas de la surface
de l’eau renfermée dans un tube. Nommons
la coordonnée verticale
,
et
les deux coordonnées horizontales d’un point quelconque
de la
Fig. 3
surface. Soient
et
le plus grand et le plus petit des rayons osculateurs de la surface à ce point.
et
seront les deux racines de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {R} ^{2}\left(rt-s^{2}\right)-\mathrm {R} {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\left[\left(1+q^{2}\right)r-2pqs+\left(1+p^{2}\right)t\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670e55726f4759ab587d80670d22b581350f82a2)
![{\displaystyle +\left(1+p^{2}+q^{2}\right)^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf6099def1718206f88172638c65c415eddbb37)
équation dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}p=&{\frac {\partial z}{\partial x}},&q=&{\frac {\partial z}{\partial y}},\\r=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}},&\qquad s=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}},\qquad t={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73590ba294bc80cbf65b26a23d0e0a8758b38b21)
On aura donc
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {R} }}+{\frac {1}{\mathrm {R} '}}={\frac {\left(1+q^{2}\right)r-2pqs+\left(1+p^{2}\right)t}{\left(1+p^{2}+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29153e1f85d1ce3f53f37e835c14d4afd8f9985)
Cela posé, si l’on conçoit un canal quelconque infiniment étroit
, on doit avoir, par la loi de l’équilibre du fluide renfermé dans ce canal,
![{\displaystyle \mathrm {K} -{\frac {\mathrm {H} }{2}}\left({\frac {1}{\mathrm {R} }}+{\frac {1}{\mathrm {R} '}}\right)+gz=\mathrm {K} -{\frac {\mathrm {H} }{2}}\left({\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b'}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff652200612734fab39fc081ad374221d367beef)
et
étant le plus grand et le plus petit des rayons osculateurs de la surface au point
, et
étant la pesanteur. En effet, l’action du fluide sur le canal au point
est, par ce qui précède,
et de plus, la hauteur du point
au-dessus du point
est
L’équation pré-