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Désignons par $c-\Pi (f)$ l’intégrale $\int df\varphi (f),$ prise depuis $f=0,\ c$ étant la valeur de cette intégrale lorsque $f$ est infini ; $\Pi (f)$ sera une quantité positive qui décroît avec une extrême rapidité, de manière à devenir insensible lorsque $f$ a une valeur sensible. La quantité précédente (a) sera le coefficient de $dr$ dans la différentielle, prise par rapport à $r$, de la fonction

$u^{2}dud\varpi d\theta \sin \theta \left[c-\Pi (f)\right],$

et, par conséquent, elle sera le coefficient de $dr$ dans la différentielle de la fonction

$-u^{2}dud\varpi d\theta \sin \theta \Pi (f).$

Pour étendre cette fonction à la couche entière, il faut d’abord l’intégrer relativement à $\varpi ,$ depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =2\pi ,\ \pi$ étant le rapport de la demi-circonférence au rayon, et alors elle devient

$-2\pi u^{2}dud\theta \sin \theta \Pi (f).$

Il faut ensuite intégrer cette dernière fonction depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta =\pi .$ On a, en différenciant la valeur précédente de $f^{2}$ par rapport à $\theta ,$

$d\theta \sin \theta ={\frac {fdf}{ru}},$

et par conséquent

$-2\pi u^{2}du\int d\theta \sin \theta \Pi (f)=-2\pi {\frac {udu}{r}}\iint df\Pi (f).$

Représentons encore l’intégrale $\iint df\Pi (f)$ par $c'-\Psi (f),\ c'$ étant la valeur de cette intégrale lorsque $f$ est infini ; $\Psi (f)$ sera encore une quantité positive qui décroît avec une extrême rapidité. On aura, en observant que l’intégrale doit être prise depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta =\pi$ et qu’à ces deux points $f=r-u$ et $f=r+u,$

$-2\pi u^{2}du\int d\theta \sin \theta \Pi (f)=-{\frac {2\pi udu}{r}}\left[\Psi (r-u)-\Psi (r+u)\right].$

En différenciant cette fonction par rapport à $r,$ le coefficient de $dr$ donnera l’attraction de la couche sur le point attiré ; mais, si l’on veut avoir