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On a vu, dans le n^o 17 du Livre VI, que, dans tous les arguments de Jupiter et de Saturne dans lesquels le coefficient de $t$ n’est pas $5n^{\rm {v}}-2n^{\rm {iv}},$ ou n’en diffère pas de $n^{\rm {iv}}$ pour Jupiter et de $n^{\rm {v}}$ pour Saturne, il faut augmenter les longitudes moyennes $n^{\rm {iv}}t+\varepsilon ^{\rm {iv}}$ et $n^{\rm {v}}t+\varepsilon ^{\rm {v}},$ comptées de l’équinoxe fixe de 1750, de leurs grandes inégalités dépendantes de $5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t.$ Si l’on veut employer les longitudes moyennes ainsi augmentées dans l’inégalité de Jupiter

$522''{,}426.\sin \left(3n^{\rm {iv}}t-5n^{\rm {v}}t+3\varepsilon ,q-5\varepsilon ^{\rm {v}}+61^{\circ }{,}8669\right),$

en nommant $q^{\rm {iv}}$ et $q^{\rm {v}}$ ces longitudes ainsi augmentées, on mettra l’inégalité précédente sous cette forme,

$522''{,}426.\sin \left[3q^{\rm {iv}}-5q^{\rm {v}}-\left(3p^{\rm {iv}}+5p^{\rm {v}}\right)+61^{\circ }{,}8669\right],$

$p^{\rm {iv}}$ étant la grande inégalité de Jupiter et $-p^{\rm {v}}$ étant celle de Saturne. En développant la fonction précédente, on aura

${\begin{aligned}&522''{,}426.\sin \left(3q^{\rm {iv}}-5q^{\rm {v}}+61^{\circ }{,}8669\right)\\-\left(3p^{\rm {iv}}+5p^{\rm {v}}\right).&522''{,}426.\cos \left(3q^{\rm {iv}}-5q^{\rm {v}}+61^{\circ }{,}8669\right)\,;\end{aligned}}$

on a, à très-peu près,

$3p^{\rm {iv}}+5p^{\rm {v}}=57079''{,}736.\sin(5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}+4^{\circ }{,}8395),$

ce qui donne

$-\left(3p^{\rm {iv}}+5p^{\rm {v}}\right).522''{,}426.\cos \left(3q^{\rm {iv}}-5q^{\rm {v}}+61^{\circ }{,}8669\right)$

$=-23''{,}4205.\left[{\begin{aligned}&\sin \left(3q^{\rm {iv}}-5q^{\rm {v}}+5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+5\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}+66^{\circ }{,}7064\right)\\-&\sin \left(3q^{\rm {iv}}-5q^{\rm {v}}-5n^{\rm {v}}t+2n^{\rm {iv}}t-5\varepsilon ^{\rm {v}}+2\varepsilon ^{\rm {iv}}+57^{\circ }{,}0725\right)\end{aligned}}\right].$

On peut substituer sans erreur sensible, dans ces deux derniers termes, $q^{\rm {iv}}$ et $q^{\rm {v}}$ au lieu de $n^{\rm {iv}}t+\varepsilon ^{\rm {iv}}$ et de $n^{\rm {v}}t+\varepsilon ^{\rm {v}}.$ Le premier terme se confond alors avec l’équation du centre de Jupiter ; le second devient à très-peu près égal à

$23''{,}4205.\sin \left(5q^{\rm {iv}}-10q^{\rm {v}}+57^{\circ }{,}0725\right).$

En le réunissant au terme

$-12''{,}1221.\sin \left(5q^{\rm {iv}}-10q^{\rm {v}}+57^{\circ }{,}0725\right),$