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En y substituant, au lieu de $2e^{\rm {iv}}\sin \left(n^{\rm {iv}}t+\varepsilon ^{\rm {iv}}-\varpi ^{\rm {iv}}\right),$ l’inégalité

$+522''{,}426.\sin \left(3n^{\rm {iv}}t-5n^{\rm {v}}t+3\varepsilon ^{\rm {iv}}-5\varepsilon ^{\rm {v}}+61^{\circ }{,}8669\right),$

on aura l’inégalité

$-{\frac {427''{,}078}{2e^{\rm {iv}}}}.522''{,}426.\sin \left(n^{\rm {iv}}t-3n^{\rm {v}}t+\varepsilon ^{\rm {iv}}-3\varepsilon ^{\rm {v}}+61^{\circ }{,}8669\right).$

En mettant pareillement l’inégalité

$-137''{,}225.\sin \left(3n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t+3\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}-\varpi ^{\rm {iv}}\right)$

sous cette forme,

$-{\frac {137''{,}225}{2e^{\rm {iv}}}}.2e^{\rm {iv}}\sin \left(n^{\rm {iv}}t+\varepsilon ^{\rm {iv}}-\varpi ^{\rm {iv}}+3n^{\rm {v}}t-3n^{\rm {iv}}t+3\varepsilon ^{\rm {v}}-3\varepsilon ^{\rm {iv}}\right),$

on aura, par la même substitution, l’inégalité suivante :

$-{\frac {137''{,}225}{2e^{\rm {iv}}}}.522''{,}426.\sin \left(-2n^{\rm {v}}t-2\varepsilon ^{\rm {v}}+61^{\circ }{,}8669\right).$

La seconde et la quatrième des équations (A) sont dues à l’équation du centre de Saturne, $+2e^{\rm {v}}\sin \left(n^{\rm {v}}t+\varepsilon ^{\rm {v}}-\varpi ^{\rm {v}}\right).$ Donnons à la seconde inégalité la forme suivante :

$+{\frac {174''{,}800}{2e^{\rm {v}}}}.2e^{\rm {v}}\sin \left(n^{\rm {v}}t+\varepsilon ^{\rm {v}}-\varpi ^{\rm {v}}+n^{\rm {v}}t-n^{\rm {iv}}t+\varepsilon ^{\rm {v}}-\varepsilon ^{\rm {iv}}\right).$

Par le n^o 35 du Livre VI, le mouvement de Saturne est assujetti à l’inégalité

$-2066''{,}921.\sin \left(n^{\rm {v}}t+\varepsilon ^{\rm {v}}+62^{\circ }{,}4250-5n^{\rm {v}}t+2n^{\rm {iv}}t-5\varepsilon ^{\rm {v}}+2\varepsilon ^{\rm {iv}}\right).$

Cette inégalité peut être considérée comme une seconde équation du centre de Saturne, dont l’excentricité et le périhélie varient avec une extrême lenteur, leurs variations dépendant de celle de l’angle $5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t.$ En la substituant donc, au lieu de $2e^{\rm {v}}\sin \left(n^{\rm {v}}t+\varepsilon ^{\rm {v}}-\varpi ^{\rm {v}}\right),$ dans l’inégalité précédente, on aura celle-ci,

$-{\frac {174''{,}800}{2e^{\rm {v}}}}.2066''{,}921.\sin \left(n^{\rm {iv}}t-3n^{\rm {v}}t+\varepsilon ^{\rm {iv}}-3\varepsilon ^{\rm {v}}+62^{\circ }{,}4250\right).$