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vitesse divisé par le rayon. En négligeant donc l’excentricité de l’orbite, cette force sera $an^{2}\,;$ mais elle est égale et contraire à la force attractive du Soleil, c’est-à-dire à sa masse divisée par le carré de la distance. Soient $1$ cette masse à l’origine de $t,$ et $1-\alpha t$ sa valeur après le temps $t,\ \alpha$ étant un très-petit coefficient constant ; on aura

$an^{2}={\frac {1-\alpha t}{a^{2}}},$

Cette équation, combinée avec la précédente, donne, en observant que $a_{1}^{3}n_{1}^{2}=1,$

${\begin{aligned}a=&{\frac {a_{1}}{1-\alpha t}},\\n=&n_{1}(1-\alpha t)^{2}.\end{aligned}}$

La longitude moyenne de la Terre étant $\int ndt,$ on aura, en négligeant le carré de $\alpha ,$

$n_{1}t-\alpha n_{1}t^{2}$

pour son expression. L’équation séculaire du moyen mouvement due à la diminution de la masse du Soleil est donc

$-\alpha n_{1}t^{2}.$

Comparons son expression à l’expression ${\frac {3\mathrm {H} n^{2}t^{2}}{2{\sqrt {a}}}}$ de l’équation séculaire due à l’impulsion de la lumière. Si l’on nomme $i$ le rapport de la vitesse de la lumière à celle de la Terre dans son orbite, $ian$ sera la première de ces vitesses, $\rho$ étant la densité de la lumière au point de l’espace qu’occupe la Terre, la perte de la lumière du Soleil dans l’instant $dt$ sera $\rho iandt$ multiplié par la surface de la sphère dont le rayon est $a\,;$ elle sera donc $4a^{3}\pi i\rho ndt,\ \pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité. On aura ainsi

$\alpha =4a^{3}\pi i\rho n,$

et, par conséquent, l’équation séculaire due à la diminution de la masse du Soleil sera

$-4\pi i\rho t^{2}.$