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et par conséquent

${\begin{aligned}de=&-{\frac {(2\mathrm {A+B} )edv}{a\left(1-e^{2}\right)}},\\d\varpi =&0\,;\end{aligned}}$

ainsi le périhélie est immobile, et il n’y a d’altération que dans le grand axe et l’excentricité de l’orbite.

Les deux expressions précédentes de $de$ et de $d{\frac {1}{a}}$ donnent

$de={\frac {(2\mathrm {A+B} )e\left(1-e^{2}\right)da}{a\left[2\mathrm {A} \left(1+e^{2}\right)+2e^{2}\mathrm {B} \right]}}.$

En intégrant cette équation différentielle, on aura $e$ en fonction de $a\,;$ en substituant ensuite cette fonction dans l’équation

$da=-{\frac {dv\left[2\mathrm {A} \left(1+e^{2}\right)+2e^{2}\mathrm {B} \right]}{\left(1-e^{2}\right)^{2}}},$

on aura, en l’intégrant, $v$ en fonction de $a$, et réciproquement $a$ en fonction de $v$.

Pour avoir la valeur de $v$ en fonction du temps $t,$ on observera que, si l’on rejette les quantités périodiques, on a $dv=ndt\,;$ de plus, $n={\frac {1}{a^{\frac {3}{2}}}}\,;$ partant,

$dt=a^{\frac {3}{2}}dv.$

Substituant pour $a$ sa valeur en fonction de $v$, et intégrant, on aura $t$ en fonction de $v$, et réciproquement $v$ en fonction de $t$.

Dans le cas des orbites peu excentriques, on a, en négligeant le carré de $e,$

${\begin{aligned}&\mathrm {A=\quad K} a^{2}\varphi \left({\frac {1}{a}}\right),\\&\mathrm {B=-K} a^{2}\varphi \left({\frac {1}{a}}\right)+\mathrm {K} a\varphi '\left({\frac {1}{a}}\right),\end{aligned}}$

$\varphi '\left({\frac {1}{a}}\right)$ étant la différence de $\varphi \left({\frac {1}{a}}\right)$ divisée par la différence de ${\frac {1}{a}}.$ On