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de plus, on a

$ds={\sqrt {dr^{2}+r^{2}dv^{2}}},$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}ds=&{\frac {r^{2}dv{\sqrt {1+2e\cos(\nu -\varpi )+e^{2}}}}{a\left(1-e^{2}\right)}},\\{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=&{\frac {r^{2}dv\left[1+2e\cos(\nu -\varpi )+e^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}{a^{2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\,;\end{aligned}}$

partant,

$d{\frac {1}{a}}={\frac {2{\rm {K}}\varphi ({\frac {1}{r}})r^{2}dv\left[1+2e\cos(\nu -\varpi )+e^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}{a^{2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}.$

Supposons qu’en développant la fonction

${\rm {K}}\varphi ({\frac {1}{r}})r^{2}dv\left[1+2e\cos(\nu -\varpi )+e^{2}\right]^{\frac {1}{2}}$

dans une série ordonnée par rapport aux cosinus de $\nu -\varpi$ et de ses multiples, on ait

${\rm {A}}+e{\rm {B}}\cos(\nu -\varpi )+e^{2}{\rm {C}}\cos(2\nu -2\varpi )+\ldots ,$

${\rm {A,B,C,\ldots }}$ étant fonctions de $e^{2}\,;$ on aura, en négligeant les quantités périodiques,

$d{\frac {1}{a}}={\frac {\left[2{\rm {A}}\left(1+e^{2}\right)+2e^{2}{\rm {B}}\right]dv}{a^{2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}.$

On a ensuite

$x=r\cos \nu ,\qquad y=r\sin \nu ,$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}dx=&-{\frac {r^{2}dv}{a\left(1-e^{2}\right)}}(\sin \nu +e\sin \varpi ),\\dy=&\quad {\frac {r^{2}dv}{a\left(1-e^{2}\right)}}(\cos \nu +e\cos \varpi ).\end{aligned}}$

De là il est facile de conclure

${\begin{aligned}d(e\sin \varpi )=&-{\frac {(2{\rm {A+B}})edv\sin \varpi }{a\left(1-e^{2}\right)}},\\d(e\sin \varpi =&-{\frac {(2{\rm {A+B}})edv\cos \varpi }{a\left(1-e^{2}\right)}},\end{aligned}}$