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aura ici

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}=&{\rm {K}}\varphi \left({\frac {1}{r}}\right){\frac {dsdx}{dt^{2}}},\\{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}=&{\rm {K}}\varphi \left({\frac {1}{r}}\right){\frac {dsdy}{dt^{2}}}.\end{aligned}}$

On a ensuite, par le même numéro, et en prenant pour l’unité la somme des masses du Soleil et de la planète,

$d{\frac {1}{a}}=2\operatorname {d} {\rm {R}}=2{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}+2{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}\,;$

partant,

$d{\frac {1}{a}}=2{\rm {K}}\varphi \left({\frac {1}{r}}\right){\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}.$

$e$ étant le rapport de l’excentricité au demi-grand axe, et $\varpi$ étant la longitude du périhélie, on a, par le même numéro,

${\begin{aligned}d(e\sin \varpi )=&dx\left(x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}-y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}\right)+(xdy-ydx){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}},\\d(e\cos \varpi )=&dy\left(y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}\right)-(xdy-ydx){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}\,;\end{aligned}}$

partant,

${\begin{aligned}d(e\sin \varpi )=&\quad 2{\rm {K}}\varphi \left({\frac {1}{r}}\right){\frac {dxds}{dt^{2}}}(xdy-ydx),\\d(e\cos \varpi )=&-2{\rm {K}}\varphi \left({\frac {1}{r}}\right){\frac {dyds}{dt^{2}}}(xdy-ydx).\end{aligned}}$

Enfin on a, par le numéro cité du Livre II,

$dn=3an\operatorname {d} {\rm {R}}=3{\rm {K}}an\varphi \left({\frac {1}{r}}\right){\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}.$

Au moyen de ces équations, on aura les variations des éléments de l’orbite dues à la résistance du milieu ; car cette résistance n’altère point la position du plan de l’orbite.

On a, par le n^o 16 du Livre II,

$xdy-ydx=r^{2}dv=dt{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}},$

$r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos(\nu -\varpi )}}\,;$