Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/344

quantités par $\alpha n{\frac {ds}{dt}},\alpha n{\frac {dv'}{dt}}$ et $\alpha n{\frac {du'}{dt}},$ on formera les trois équations

${\begin{aligned}0=&\alpha {\frac {d^{2}u'}{dt^{2}}}-2\alpha n{\frac {dv'}{dt}}\cos \theta ,\\0=&\alpha {\frac {d^{2}v'}{dt^{2}}}+2\alpha n{\frac {du'}{dt}}\cos \theta -2\alpha n{\frac {ds}{dt}}\sin \theta ,\\0=&\alpha {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+2\alpha n{\frac {dv'}{dt}}\sin \theta -g.\end{aligned}}$

Ces équations donnent, en les intégrant et fixant au point du départ l’origine des coordonnées $\alpha s,\alpha u'$ et $\alpha v',$ et l’origine du temps $t$ à l’instant du départ,

${\begin{aligned}\alpha u'=&{\rm {B}}t\sin \theta +{\frac {1}{2}}gt^{2}\sin \theta \cos \theta +{\rm {C}}\cos \theta \left[\cos(2nt+\varepsilon )-\cos \varepsilon \right],\\\alpha v'=&{\frac {gt\sin \theta }{2n}}-{\rm {C}}\left[\sin(2nt+\varepsilon )-\sin \varepsilon \right],\\\alpha s\,=&{\rm {B}}t\cos \theta +{\frac {1}{2}}gt^{2}\cos ^{2}\theta -{\rm {C}}\sin \theta \left[\cos(2nt+\varepsilon )-\cos \varepsilon \right],\end{aligned}}$

${\rm {B,C}},\varepsilon$ étant trois arbitraires, que déterminent les vitesses initiales du corps dans le sens des trois coordonnées.

Supposons, par exemple, que le corps soit lancé verticalement de bas en haut, avec une vitesse égale à ${\rm {K.s}}$ Les valeurs positives de $s$ étant prises ici de haut en bas, on aura, à l’origine du temps $t,\ {\frac {ds}{dt}}=-{\rm {K.}}$ On aura de plus, à cette origine, ${\frac {du'}{dt}}=0,\ {\frac {dv'}{dt}}=0\,;$ partant,

${\begin{aligned}0=&{\rm {B}}\sin \theta -2n{\rm {C}}\cos \theta \sin \varepsilon ,\\0=&{\frac {g}{2n}}\sin \theta -2n{\rm {C}}\cos \varepsilon ,\\-{\rm {K=}}&{\rm {B}}\cos \theta +2n{\rm {C}}\sin \theta \sin \varepsilon ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}{\rm {C\sin \varepsilon =}}&-{\frac {\rm {K\sin \theta }}{2n}},\\{\rm {C\cos \varepsilon =}}&\quad {\frac {g\sin \theta }{4n^{2}}},\\{\rm {B=}}&-{\rm {K}}\cos \theta ,\end{aligned}}$