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conséquent de la quantité $\alpha u\,;$ le corps, en tombant, est donc toujours sur les parallèles des points de la verticale qui sont à la même hauteur que lui ; il n’éprouve ainsi aucune déviation sensible vers le midi de cette ligne.

Pour intégrer la troisième équation, nous ferons

$\alpha v\sin \theta ={\frac {\alpha s}{\sin \theta }}{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}+\alpha v',$

et nous aurons

$0=\alpha {\frac {d^{2}v'}{dt^{2}}}+\alpha {\rm {S}}{\frac {dv'}{dt}}-2\alpha n{\frac {ds}{dt}}\sin \theta .$

Le corps s’écarte à l’est du rayon $r$ de la quantité $\alpha v\sin \theta ,$ ou ${\frac {\alpha s}{\sin \theta }}{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}+\alpha v'\,;$ mais le fil à plomb s’écarte à l’est de ce rayon de la quantité ${\frac {\alpha s}{\sin \theta }}{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}\,;\ \alpha v'$ est donc l’écart du corps à l’est de la verticale.

Supposons maintenant la résistance de l’air proportionnelle au carré de la vitesse, en sorte que ${\rm {S}}=m\alpha {\frac {ds}{dt}},\ m$ étant un coefficient qui dépend de la figure du corps et de la densité de l’air, densité variable à raison de la hauteur, mais qui peut être ici supposée constante sans erreur sensible ; on aura

$0=\alpha {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+\alpha ^{2}m{\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}-g.$

Pour intégrer cette équation, nous ferons

$\alpha s={\frac {1}{m}}\log s'.$

et nous aurons

$0={\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}-mgs',$

ce qui donne, en intégrant,

$s'={\rm {A}}c^{t{\sqrt {mg}}}+{\rm {B}}c^{-t{\sqrt {mg}}},$

$c$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et ${\rm {A}}$ et ${\rm {B}}$ étant deux arbitraires. Pour les déterminer, nous observerons que $\alpha s$