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male ou la cent-millième partie du jour moyen, $n$ exprime le petit angle décrit dans une seconde par la rotation de la Terre ; $nt$ est ce même angle multiplié par le nombre de secondes que dure la chute du corps. Ce nombre est toujours assez petit pour que le produit $nt$ soit une très-petite fraction, que l’on peut négliger relativement à l’unité ; on peut donc supprimer le terme $2\alpha nr{\frac {dv}{dt}}\sin ^{2}\theta$ de la première des équations précédentes, et le terme $-2\alpha n{\frac {dv}{dt}}\sin \theta \cos \theta$ de la seconde de ces équations. On peut, par une raison semblable, supprimer le terme $2\alpha n{\frac {du}{dt}}\cos \theta$ de la troisième de ces équations, qui se réduisent ainsi aux suivantes :

${\begin{aligned}0=&\alpha {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+\alpha {\rm {S}}{\frac {ds}{dt}}-g,\\0=&\alpha {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+\alpha {\rm {S}}{\frac {du}{dt}}-g{\frac {\partial y}{\partial \theta }},\\0=&\alpha {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\sin \theta -2\alpha n{\frac {ds}{dt}}\sin \theta +\alpha {\rm {S}}{\frac {dv}{dt}}\sin \theta -{\frac {g}{\sin \theta }}{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}.\end{aligned}}$

${\rm {S}}$ étant une fonction de $\alpha s$ et de $\alpha {\frac {ds}{dt}},$ la première de ces équations donne $\alpha s$ en fonction du temps $t$. Si l’on fait

$\alpha u=\alpha s{\frac {\partial y}{\partial \theta }},$

on satisfera à la seconde de ces équations, parce que $g$ et ${\frac {\partial y}{\partial \theta }}$ peuvent être supposés constants pendant la durée du mouvement, vu la petitesse de la hauteur d’où le corps tombe, relativement au rayon terrestre. Cette manière de satisfaire à la seconde équation est la seule qui convienne à la question présente, dans laquelle $u$ et ${\frac {du}{dt}}$ sont nuls, ainsi que $s$ et ${\frac {ds}{dt}},$ à l’origine du mouvement. Maintenant, si l’on imagine un fil à plomb de la longueur $\alpha s,$ suspendu au point d’où le corps tombe, il s’écartera, au midi du rayon $r,$ de la quantité $\alpha s{\frac {\partial y}{\partial \theta }},$ et par