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couche. Si l’on désigne par ${\rm {Q}}$ la fonction

${\rm {V}}+{\frac {n^{2}}{2}}\left[(r-\alpha s)^{2}\sin ^{2}(\theta +\alpha u)\right],$

l’équation {2) devient

$0={\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial r}}\left({\frac {\partial y}{\partial \theta }}\delta \theta +{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}\delta \varpi \right)+{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial \theta }}\delta \theta +{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial \varpi }}\delta \varpi \,;$

en ajoutant cette équation à l’équation (1), on aura

${\begin{aligned}0=&\delta r\left(-\alpha {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-2\alpha nr{\frac {dv}{dt}}\sin ^{2}\theta -\alpha {\rm {S}}{\frac {ds}{dt}}\right)\\&+r^{2}\delta \theta \left(\alpha {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-2\alpha n{\frac {dv}{dt}}\sin \theta \cos \theta +\alpha {\rm {S}}{\frac {du}{dt}}\right)\\&+r^{2}\delta \varpi \sin \theta \left(\alpha {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\sin \theta +2\alpha n{\frac {du}{dt}}\cos \theta \right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {2\alpha n{\cfrac {ds}{dt}}\sin \theta }{r}}+\alpha {\rm {S}}{\frac {dv}{dt}}\sin \theta \right)\\&-{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial r}}\left(\delta r-{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\delta \theta -{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}\delta \varpi \right).\end{aligned}}$

Si l’on égale à zéro les coefficients des variations $\delta r,\delta \theta$ et $\delta \varpi ,$ et si l’on observe que $-{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial r}}$ exprime, par le n^o 36 du Livre III, la pesanteur, que nous désignerons par $g$, on aura, en prenant pour unité le rayon $r,$ ce que l’on peut faire ici sans erreur sensible, les trois équations suivantes :

(A) $\left\{{\begin{aligned}0=&\alpha {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+2\alpha nr{\frac {dv}{dt}}\sin ^{2}\theta +\alpha {\rm {S}}{\frac {ds}{dt}}-g,\\0=&\alpha {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-2\alpha n{\frac {dv}{dt}}\sin \theta \cos \theta +\alpha {\rm {S}}{\frac {du}{dt}}-g{\frac {\partial y}{\partial \theta }},\\0=&\alpha {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\sin \theta +2\alpha n{\frac {du}{dt}}\cos \theta \\&\qquad \qquad \qquad -2\alpha n{\cfrac {ds}{dt}}\sin \theta +\alpha {\rm {S}}{\frac {dv}{dt}}\sin \theta -{\frac {g}{\sin \theta }}{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}.\end{aligned}}\right.$

L’inspection de ces équations fait voir que $\alpha s$ est, relativement à $\alpha u$ et $\alpha v,$ du même ordre que l’unité relativement à ${\frac {\partial y}{\partial \theta }}$ ou ${\frac {\partial y}{\partial \varpi }}.$ De plus, $\alpha {\frac {dv}{dt}}$ est du même ordre que $gt{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}$ et par conséquent $2\alpha n{\frac {dv}{dt}}\sin ^{2}\theta$ est de l’ordre $gnt{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}.$ Si l’on prend pour unité de temps la seconde déci-