Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/337

Nommons ${\rm {S}}$ le facteur ${\frac {\varphi \left(\alpha s,\alpha {\cfrac {ds}{dt}}\right)}{\alpha {\cfrac {ds}{dt}}}}\,;$ on aura, par le principe des vitesses virtuelles,

${\begin{aligned}0=&\delta x{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\delta y{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\delta z{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\\&-\delta x{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x}}-\delta y{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y}}-\delta z{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial z}}\\&-{\rm {S}}\delta r.\alpha {\frac {ds}{dt}}+{\rm {S}}\delta \theta .\alpha {\frac {du}{dt}}+{\rm {S}}\delta \varpi \sin ^{2}\theta .\alpha {\frac {dv}{dt}},\end{aligned}}$

la caractéristique différentielle $\delta$ se rapportant aux coordonnées $r,\theta$ et $\varpi ,$ dont $x,y,z$ sont fonctions. En substituant pour $x,y,z$ leurs valeurs précédentes, on a, en négligeant les termes de l’ordre $\alpha ^{2},$

(1) $\left\{{\begin{aligned}0=&\delta r\left(-\alpha {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-2\alpha nr{\frac {dv}{dt}}\sin ^{2}\theta -\alpha {\rm {S}}{\frac {ds}{dt}}\right)\\&+r^{2}\delta \theta \left(\alpha {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-2\alpha n{\frac {dv}{dt}}\sin \theta \cos \theta +\alpha {\rm {S}}{\frac {du}{dt}}\right)\\&+r^{2}\delta \varpi \left(\alpha {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\sin ^{2}\theta +2\alpha n{\frac {du}{dt}}\sin \theta \cos \theta \right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {2\alpha n{\cfrac {ds}{dt}}\sin ^{2}\theta }{r}}+\alpha {\rm {S}}{\frac {dv}{dt}}\sin ^{2}\theta \right)\\&-\delta {\rm {V}}-{\frac {n^{2}}{2}}\delta \left[(r-\alpha s)^{2}\sin ^{2}(\theta +\alpha u)\right].\end{aligned}}\right.$

L’équilibre de la couche d’air dans laquelle le corps se trouve donne, par le n^o 35 du Livre I,

(2)

$0=\delta {\rm {V}}+{\frac {n^{2}}{2}}\delta \left[(r-\alpha s)^{2}\sin ^{2}(\theta +\alpha u)\right],$

pourvu que la valeur de $\delta r$ soit assujettie à la surface de la couche de niveau, où la pression est constante, par le n^o 22 du Livre III. Soit, à cette surface,

$r=a+y,$

$y$ étant fonction de $\theta ,$ de $\varpi$ et de $a,\ a$ étant constant pour la même