Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/336

forme avec le plan des $x$ et des $y,$ en sorte que $nt$ est le mouvement angulaire de rotation de la Terre, et $t$ exprime le temps.

Supposons ensuite que, relativement au corps dans sa chute, $r$ se change en $r-\alpha s,$ dans $\theta +\alpha u,$ et $\varpi$ dans $\varpi +\alpha v\,;$ on aura

${\begin{aligned}x=&(r-\alpha s)\cos(\theta +\alpha u),\\y=&(r-\alpha s)\sin(\theta +\alpha u)\cos(nt+\varpi +\alpha v),\\z=&(r-\alpha s)\sin(\theta +\alpha u)\sin(nt+\varpi +\alpha v).\end{aligned}}$

Nommons ${\rm {V}}$ la somme de toutes les molécules du sphéroïde terrestre, divisées par leurs distances au corps attiré. Les forces dont ce corps est animé par l’attraction de ces molécules sont, parallèlement aux axes des $x,$ des $y$ et des $z,{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial x}},{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial y}},{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial z}},$ comme il résulte du n^o 11 du Livre II. Pour avoir égard à la résistance de l’air, nous pouvons représenter par $\varphi \left(\alpha s,\alpha {\frac {ds}{dt}}\right)$ l’expression de cette résistance, lorsque le corps, en tombant, part de l’état du repos ; car la vitesse du corps, relative à l’air considéré comme immobile, étant considérablement plus grande dans le sens de $r$ que dans le sens perpendiculaire à $r,$ ainsi qu’on le verra bientôt, l’expression de cette vitesse relative est à très-peu près $\alpha {\frac {ds}{dt}}.$ Si l’on fait, pour plus de simplicité, $r=1,$ la vitesse relative du corps dans le sens de $\theta$ est $\alpha {\frac {du}{dt}},$ et dans le sens de $\varpi ,$ elle est égale à $\alpha {\frac {dv}{dt}}\sin \theta \,;$ la résistance de l’air sera donc

dans le sens de $r\ldots \ldots \quad \ {\frac {\varphi \left(\alpha s,\alpha {\cfrac {ds}{dt}}\right)}{\alpha {\cfrac {ds}{dt}}}}\alpha {\cfrac {ds}{dt}},$

dans le sens de $\theta \ldots \ldots \ -{\frac {\varphi \left(\alpha s,\alpha {\cfrac {ds}{dt}}\right)}{\alpha {\cfrac {ds}{dt}}}}\alpha {\frac {du}{dt}},$

dans le sens de $\varpi \ldots \ldots -{\frac {\varphi \left(\alpha s,\alpha {\cfrac {ds}{dt}}\right)}{\alpha {\cfrac {ds}{dt}}}}\alpha {\frac {dv}{dt}}\sin \theta .$