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d’où l’on tire

$z_{r}={\frac {2q}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {3q}{1+{\cfrac {2q}{1+{\cfrac {4q}{1+{\cfrac {3q}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}\,;$

partant,

${\frac {y_{1}}{y_{0}}}={\frac {q}{1+z_{1}}}={\cfrac {q}{1+{\cfrac {2q}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {3q}{1+{\cfrac {2q}{1+\ldots }}}}}}}}}}\,;$

mais la comparaison des deux expressions précédentes de $u$ donne

$y_{1}=1-1.2q+1.2.3q^{2}-1.2.3.4q^{3}+\ldots \,;$

de plus $y_{0}={\frac {1}{q}}\,;$ partant,

$qc^{-f}\left(1-1.2q+1.2.3q^{2}-\ldots \right)={\frac {qc^{-f}}{1+{\cfrac {2q}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {3q}{1+{\cfrac {2q}{1+\ldots }}}}}}}}}}.$

C’est la valeur de l’intégrale $\int dxc^{-{\frac {f}{x}}},$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1.$ Soit

$\varepsilon ^{(1)}=2q,\ \varepsilon ^{(2)}=q,\ \varepsilon ^{(3)}=3q,\ \varepsilon ^{(4)}=2q,\ \varepsilon ^{(5)}=4q,\ \varepsilon ^{(6)}=3q,\ \varepsilon ^{(7)}=5q,\ldots ,$

et formons une suite de fractions dont les deux premières soient ${\frac {1}{1}}$ et ${\frac {1}{1+2q}},$ et telles qu’en nommant ${\rm {N}}^{(r)}$ le numérateur de la fraction $r$^ième, et ${\rm {D}}^{(r)}$ son dénominateur, on ait

${\begin{aligned}{\rm {N}}^{(r)}=&{\rm {N}}^{(r-1)}+\varepsilon ^{r-1}{\rm {N}}^{(r-2)},\\{\rm {D}}^{(r)}=&{\rm {D}}^{(r-1)}+\varepsilon ^{r-1}{\rm {D}}^{(r-2)}\,;\end{aligned}}$