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est nulle, et par conséquent l’intégrale devient

$qc^{-f}\left(1-1.2q+1.2.3q^{2}-1.2.3.4q^{3}+\ldots \right).$

On réduira cette série en fraction continue par la méthode exposée dans le n^o 5. Pour cela, supposons

$u=1-2q(1-t)-1.2.3q^{2}(1-t)^{2}-\ldots \,;$

nous aurons

$q{\frac {du}{dt}}(1-t)^{2}-2qu(1-t)-u+1=0.$

Considérons $u$ comme la fonction génératrice de $y_{r},$ en sorte que l’on ait

$u=y_{1}+y_{2}t+y_{3}t^{2}+\ldots y_{r+1}t^{r}+\ldots \,;$

le coefficient de $t^{r-1},$ dans l’équation différentielle précédente, donnera, en l’égalant à zéro, l’équation aux différences finies

$qry_{r+1}-(2qr+1)y_{r}+qry_{r-1}=0\,;$

dans le cas de $r=1,$ ce coefficient donnera

$0=qy_{2}-(2q+1)y_{1}+1,$

ce qui rentre dans l’équation précédente, en y supposant $y_{0}={\frac {1}{q}}.$ Maintenant, l’équation aux différences finies en $y_{r},$ donne

${\frac {y_{r-1}}{y_{r}}}={\frac {2qr+1}{qr}}-{\frac {y_{r+1}}{y}}.$

Supposons

${\frac {y_{r}}{y_{r-1}}}={\frac {qr}{1+(r-1)q+z_{r}}}\,;$

nous aurons

$z_{r}=q(r+1)-{\frac {q^{2}r(r+1)}{1+rq+z_{r+1}}},$

ou

$z_{r}={\frac {q(r+1)}{1+{\cfrac {rq}{1+z_{r+1}}}}},$