Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/320

et alors la réfraction, au lieu d’élever les objets, les abaisse ; aussi les observateurs ont trouvé de très-grandes variétés dans les réfractions terrestres.

On n’a besoin de connaître les réfractions que pour corriger les hauteurs observées des objets ; mais on peut déterminer directement ces hauteurs en intégrant l’expression précédente de $dv.$ En effet, si l’on y suppose $\rho =(\rho )\left(1-{\frac {ias}{l}}\right),$ et qu’en suite on l’intègre depuis $s=0,$ on trouvera

${\frac {v}{\sin \Theta }}={\frac {{\sqrt {\cos ^{2}\Theta +2s\sin ^{2}\Theta -{\cfrac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho ){\cfrac {ia}{l}}s}}-\cos \Theta }{\sin ^{2}\Theta -{\cfrac {2{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho ){\cfrac {ia}{l}}}},$

d’où l’on tire

$as={\frac {av^{2}}{2}}\left[1-{\frac {2{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho ){\frac {ia}{l\sin ^{2}\Theta }}\right]+av\cot \Theta ,$

$as$ étant à très-peu près la hauteur de l’objet observé au-dessus du niveau de l’observateur. Il est facile de s’assurer que cette expression coïncide avec celle que l’on aurait en corrigeant la hauteur au moyen de l’expression précédente de la réfraction.

Pour déterminer $as,$ quelle que soit la hauteur apparente $\Theta ,$ il faut intégrer l’expression de $dv,$ et cette intégration suppose la connaissance de la loi suivant laquelle la densité des couches de l’atmosphère diminue. En partant de celle que nous avons adoptée dans le n^o 7, on pourra facilement intégrer l’expression de $dv$ par l’analyse exposée dans ce numéro et en conclure la valeur de $s$ en fonction de $v$. Mais, à des hauteurs apparentes un peu grandes, on peut obtenir cette valeur indépendamment de toute hypothèse sur la constitution de l’atmosphère, comme on a vu, dans le n^o 8, que la réfraction astronomique en est alors indépendante.

Si l’on suppose ${\frac {a}{r}}=1-s,$ on aura

$dv={\frac {ds\sin \Theta }{\sqrt {\cos ^{2}\Theta -2\alpha \left[1-{\cfrac {\rho }{(\rho )}}\right]+2s\left(1-{\frac {1}{2}}s\right)\sin ^{2}\Theta }}}.$