Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/309

En intégrant depuis $\rho =(\rho )$ jusqu’à $\rho =0$ on aura

$\delta \theta =\alpha \operatorname {tang} \Theta \left[1+{\frac {1}{2}}{\frac {\alpha \left(2\cos ^{2}\Theta +1\right)}{\cos ^{2}\Theta }}+{\frac {1}{\cos ^{2}\Theta }}\int {\frac {sd\rho }{(\rho )}}\right].$

L’intégrale $\int {\frac {sd\rho }{(\rho )}}$ est égale à ${\frac {s\rho }{(\rho )}}-\int {\frac {\rho ds}{(\rho )}}.$ En prenant depuis $\rho =(\rho )$ jusqu’à $\rho =0,$ et observant qu’à la limite $\rho =0$ répond $s=1$ ou $r$ infini, on aura

$\int s{\frac {d\rho }{(\rho )}}=-\int {\frac {\rho ds}{(\rho )}}.$

Pour avoir cette dernière intégrale, nous observerons que, $p$ exprimant la pression de l’air, on a

$dp=-g\rho dr=-g{\frac {r^{2}}{a}}\rho ds\,;$

or, $(g)$ étant la pesanteur à la surface de la Terre, on a $g=(g){\frac {a^{2}}{r^{2}}}\,;$ donc

$p=-(g)a\int \rho ds.$

Ainsi l’intégrale $\int \rho ds$ est égale à la pression entière $(p)$ à la surface de la Terre, divisée par $(g)a\,;$ cette pression, par le n^o 5, est égale à $(g)(\rho )l\,;$ on a donc

$\int {\frac {\rho ds}{(\rho )}}={\frac {l}{a}}\,;$

l’expression précédente de $\delta \theta$ devient ainsi

(A)

$\delta \theta =\alpha \operatorname {tang} \Theta \left[1+{\frac {{\frac {1}{2}}\alpha (2\cos ^{2}\Theta +1)-{\frac {l}{a}}}{\cos ^{2}\Theta }}\right].$

Cette expression a l’avantage d’être indépendante de toute hypothèse sur la constitution de l’atmosphère et de ne dépendre que de sa nature dans le lieu de l’observateur ; car les valeurs de $(\rho )$ et de $l$ sont données par les observations qu’il peut faire du baromètre et du thermomètre. Il importe donc de connaître jusqu’à quelle hauteur apparente on peut faire usage de cette formule.

En considérant l’expression précédente de $\delta \theta$ en série, il est aisé de