Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/305

on a

$dp=-(g)a\rho du+\alpha (g)a{\frac {\rho d\rho }{(\rho )}}.$

En substituant pour $\rho$ sa valeur

$(\rho )\left(1+{\frac {fu}{l'}}\right)c^{-{\frac {u}{l'}}},$

et intégrant, en observant de plus que $(p)=(g)(\rho )l,$ on trouvera

${\frac {p}{(p)}}={\frac {al'}{l}}\left(1+{\frac {fu}{l'}}\right)c^{-{\frac {u}{l'}}}+f{\frac {al'}{l}}c^{-{\frac {u}{l'}}}+{\frac {1}{2}}\alpha {\frac {a}{l}}{\frac {\rho ^{2}}{(\rho )^{2}}}.$

À la surface de la Terre, $p=(p),\ u=0$ et $\rho =(\rho )\,;$ on a donc

$l'(1+f)={\frac {l}{a}}-{\frac {1}{2}}\alpha .$

Si nous supposons la réfraction horizontale de $6500$ secondes, ou, en parties du rayon, de $0{,}01021018,$ nous aurons

$0{,}01021018={\frac {\alpha {\sqrt {\pi }}}{(1-\alpha ){\sqrt {2l'}}}}\left(1-{\frac {1}{2}}f\right).$

Ces deux dernières équations donnent

$f={\frac {l}{al'}}-{\frac {\alpha }{2l'}}-1,$

$(0''{,}01021018)^{2}(1-\alpha )^{2}.8l'^{3}=\alpha ^{2}\pi \left(3l'-{\frac {l}{a}}+{\frac {\alpha }{2}}\right)^{2}.$

En substituant pour $\alpha ,a$ et $l$ leurs valeurs précédentes, on trouvera

${\begin{aligned}l'=&0{,}000741816,\\f=&0{,}49042.\end{aligned}}$

On aura donc, dans cette constitution de l’atmosphère,

${\begin{aligned}u=&s-0{,}000293876.\left[1-{\frac {\rho }{(\rho )}}\right],\\\rho =&(\rho )\left(1+u.661{,}107\right)c^{-u.1348{,}04},\\\delta \theta =&8611''{,}6.\left(0{,}75479-0{,}49042.{\rm {T^{2}}}\right)\sin \Theta .{\frac {2\Psi ({\rm {T)}}}{\sqrt {\pi }}}+30930''{,}3.\sin 2\Theta .\end{aligned}}$