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6. L’équation différentielle (3) du n^o 3 s’intègre rigoureusement, en y supposant

${\frac {a}{r}}=\left[{\frac {1+{\cfrac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}\rho }{1+{\cfrac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )}}\right]^{m}.$

Si l’on fait alors

$\left[{\frac {1+{\cfrac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}\rho }{1+{\cfrac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )}}\right]^{m-{\frac {1}{2}}}\sin \Theta =z,$

elle devient

$d\theta ={\frac {-dz}{(2m-1){\sqrt {1-z^{2}}}}},$

d’où l’on tire, en intégrant depuis $s=\sin \Theta$ jusqu’à $z={\frac {\sin \Theta }{\left[1+{\cfrac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )\right]^{m-{\frac {1}{2}}}}},$

$\delta \theta ={\frac {1}{2m-1}}\left\{\Theta -\operatorname {arc} \sin {\frac {\sin \Theta }{\left[1+{\cfrac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )\right]^{m-{\frac {1}{2}}}}}\right\},$

équation que l’on peut encore mettre sous la forme

$\operatorname {tang} {\frac {2m-1}{2}}\delta \theta ={\frac {\left[1+{\cfrac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )\right]^{m-{\frac {1}{2}}}-1}{\left[1+{\cfrac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )\right]^{m-{\frac {1}{2}}}+1}}\operatorname {tang} \left(\Theta +{\frac {2m-1}{2}}\delta \theta \right).$

Relativement à la réfraction horizontale, on a $\Theta =100^{\circ },$ et alors

$\operatorname {tang} \left(\Theta -{\frac {2m-1}{2}}\delta \theta \right)={\frac {1}{\operatorname {tang} {\cfrac {2m-1}{2}}\delta \theta }}\,;$

de plus, ${\cfrac {\rm {K}}{n^{2}}}(\rho )$ étant une fraction extrêmement petite, on a, à fort peu près,

${\frac {\left[1+{\cfrac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )\right]^{m-{\frac {1}{2}}}-1}{\left[1+{\cfrac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )\right]^{m-{\frac {1}{2}}}+1}}={\frac {2m-1}{2}}{\frac {2{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )\,;$