et ainsi de suite ; partant,
Si l’on fait a r = 1 {\displaystyle a_{r}=1} et b r = ( r + 1 ) q , {\displaystyle b_{r}=(r+1)q,} on aura l’équation différentielle précédente,
et alors
Faisons r = 0 ; {\displaystyle r=0\,;} nous aurons, en observant que y 0 = 1 , {\displaystyle y_{0}=1,}
y 1 {\displaystyle y_{1}} est le coefficient indépendant de t {\displaystyle t} dans le développement de la série
et, par conséquent, on a
En supposant donc
et 
on aura l’équation différentielle précédente,
nous aurons, en observant que 
est le coefficient indépendant de 
dans le développement de la série![{\displaystyle {\frac {1}{1-t}}\left[1-{\frac {q}{(1-t)^{2}}}+{\frac {1.3.q^{2}}{(1-t)^{4}}}-\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920287f88e09598ff276fb8c8d8dfd5464cbaca0)
