Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/294

nous aurons, en prenant l’intégrale depuis $t=0$ jusqu’à $t={\rm {T,}}$

$\int dtc^{-t^{2}}={\rm {T-{\frac {T^{3}}{3}}+{\frac {1}{1.2}}{\frac {T^{5}}{5}}-{\frac {1}{1.2.3}}{\frac {T^{7}}{7}}+\ldots .}}$

Nous aurons encore

$\int dtc^{-t^{2}}={\rm {c^{-T^{2}}T\left[1+{\frac {2T^{2}}{1.3}}+{\frac {\left(2T^{2}\right)^{2}}{1.3.5}}+{\frac {\left(2T^{2}\right)^{3}}{1.3.5.7}}+\ldots \right].}}$

Ces deux séries finissent par être convergentes, quel que soit ${\rm {T}}$ ; la première est alternativement plus grande et plus petite que l’intégrale, suivant que l’on s’arrête à un terme positif ou à un terme négatif, en sorte que, si l’on ajoute à un nombre quelconque de ses termes la moitié du terme suivant, l’erreur sera moindre que cette moitié, ce qui donne un moyen simple pour juger du degré d’approximation. En retranchant ensuite la valeur de la série de ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }},$ on aura celle de l’intégrale $\int dtc^{-t^{2}}$ depuis $t={\rm {T}}$ jusqu’à $t$ infini. Lorsque ${\rm {T}}$ est égal ou plus grand que $3,$ on aura la valeur de l’intégrale au moyen de la série

$\int dtc^{-t^{2}}={\frac {c^{-{\rm {T^{2}}}}}{2{\rm {T}}}}{\rm {\left(1-{\frac {1}{2T^{2}}}+{\frac {1.3}{2^{2}.T^{4}}}-{\frac {1.3.5}{2^{3}.T^{6}}}+\ldots \right),}}$

série qui jouit encore de l’avantage d’être alternativement plus grande et plus petite que l’intégrale, qui est ici prise depuis $t={\rm {T}}$ jusqu’à $t$ infini.

On peut donner à cette série la forme d’une fraction continue par la méthode suivante, qui peut servir dans d’autres circonstances, et au moyen de laquelle la série peut être mise sous une infinité de formes différentes.

Supposons

$u={\frac {1}{1-t}}\left[1-{\frac {q}{(1-t)^{2}}}+{\frac {1.3.q^{2}}{(1-t)^{4}}}-{\frac {1.3.5.q^{3}}{(1-t)^{6}}}+\ldots \right]\,;$

nous aurons, comme il est facile de s’en assurer par la différentiation,

$q{\frac {du}{dt}}+(1-t)u=1.$