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Prenons maintenant cette intégrale d’une autre manière et supposons $sx^{2}=t^{2},$ ce qui donne $dx={\frac {dt}{\sqrt {s}}},\ s$ étant supposé constant dans la différentiation ; la double intégrale précédente deviendra donc

$\iint {\frac {ds}{\sqrt {s}}}dtc^{-s-t^{2}}\quad$ou$\quad \int {\frac {ds}{\sqrt {s}}}c^{-s}\int dtc^{-t^{2}}.$

Nommons ${\rm {K}}$ l’intégrale $\int dtc^{-t^{2}},$ prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini ; la double intégrale précédente devient ${\rm {K}}\int {\frac {ds}{\sqrt {s}}}c^{-s}.$ Soit $s=t'^{2},$ ce qui donne

$\int {\frac {ds}{\sqrt {s}}}c^{-s}=2\int dt'c^{-t'^{2}}=2{\rm {K\,;}}$

on aura

$\int {\frac {ds}{\sqrt {s}}}c^{-s}\int dtc^{-t^{2}}=2{\rm {K}}^{2}=\iint dsdxc^{-s(1+x^{2})}={\frac {\pi }{2}},$

partant,

$\int dtc^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}=\Psi (r)\,;$

l’expression de la réfraction à l’horizon est donc

${\frac {\alpha }{1-\alpha }}{\sqrt {{\frac {1}{2}}{\frac {a\pi }{l}}}}\left\{{\begin{aligned}1&+\quad {\frac {\alpha a}{l}}\quad \left(2^{\frac {1}{2}}-1\right)\\\\&+{\frac {\alpha ^{2}a^{2}}{1.2.l^{2}}}\left(3^{\frac {3}{2}}-2.2^{\frac {3}{2}}+1\right)\\\\&+{\frac {\alpha ^{3}a^{3}}{1.2.3.l^{3}}}\left(4^{\frac {5}{2}}-3.3^{\frac {5}{2}}+3.2^{\frac {5}{2}}-1\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$

expression que l’on peut encore mettre sous cette forme :

${\frac {\alpha }{1-\alpha }}{\sqrt {{\frac {1}{2}}{\frac {a\pi }{l}}}}\left(c^{-{\frac {\alpha a}{l}}}+{\frac {\alpha a}{l}}.2^{\frac {1}{2}}.c^{-{\frac {2\alpha a}{l}}}+{\frac {\alpha ^{2}a^{2}}{1.2.l^{2}}}.3^{\frac {3}{2}}.c^{-{\frac {3\alpha a}{l}}}+\ldots \right).$

Pour avoir la valeur de $\Psi (r)$ lorsque l’astre est peu élevé sur l’horizon, supposons

${\rm {T}}^{2}={\frac {ar}{2l}}{\frac {\cos ^{2}\Theta }{\sin ^{2}\Theta }}\,;$