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on aura, en n’ayant égard qu’au premier terme de $d\theta$,

$\delta \theta ={\frac {\alpha }{1-\alpha }}{\sqrt {\frac {2a}{l}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}\Psi (1)&+\quad {\frac {\alpha {\frac {a}{l}}}{\sin ^{2}\Theta }}\quad \left[2^{\frac {1}{2}}\Psi (2)-\Psi (1)\right]\\\\&+\ {\frac {\alpha ^{2}{\frac {a^{2}}{l^{2}}}}{1.2.\sin ^{4}\Theta }}\ \left[3^{\frac {3}{2}}\Psi (3)-2.2^{\frac {3}{2}}\Psi (2)+\Psi (1)\right]\\\\&+{\frac {\alpha ^{3}{\frac {a^{3}}{l^{3}}}}{1.2.3.\sin ^{6}\Theta }}\left[4^{\frac {5}{2}}\Psi (4)-3.3^{\frac {5}{2}}\Psi (3)+3.2^{\frac {5}{2}}\Psi (2)-\Psi (1)\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}$

expression que l’on peut mettre encore sous cette forme :

$\delta \theta ={\frac {\alpha }{1-\alpha }}{\sqrt {\frac {2a}{l}}}\left\{{\begin{aligned}c^{-{\frac {\alpha a}{l\sin ^{2}\Theta }}}\Psi (1)&+\qquad {\frac {\alpha a}{l\sin ^{2}\Theta }}.2^{\frac {1}{2}}.c^{-{\frac {2\alpha a}{l\sin ^{2}\Theta }}}\Psi (2)\\\\&+{\frac {\alpha ^{2}a^{2}}{1.2.l^{2}\sin ^{4}\Theta }}.3^{\frac {3}{2}}.c^{-{\frac {3\alpha a}{l\sin ^{2}\Theta }}}\Psi (3)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}$

La difficulté se réduit à former $\Psi (r)$ ou à prendre l’intégrale $\int dtc^{-t^{2}}$ depuis $t={\sqrt {\frac {ar}{2l}}}$ jusqu’à $t=\infty .$ Dans le cas de la réfraction horizontale, $\cos \Theta =0$ et $\sin \Theta =1\,;\ \Psi (r)$ est donc alors indépendant de $r$ et égal à l’intégrale $\int dtc^{-t^{2}},$ prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini. Pour déterminer cette intégrale, considérons la double intégrale $\iint dsdxc^{-s\left(1+x^{2}\right)},$ les intégrales étant prises depuis $s$ nul jusqu’à $s$ infini, et depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini. Intégrant d’abord par rapport à $s,$ on aura

$\iint dsdxc^{-s\left(1+x^{2}\right)}=\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}.$

L’intégrale $\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}$ est l’angle dont la tangente est $x\,;$ cette intégrale, prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini, est l’angle droit ou ${\frac {\pi }{2}},\ \pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité ; on a donc

$\iint dsdxc^{-s\left(1+x^{2}\right)}={\frac {\pi }{2}}.$