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On a généralement

$\pm {\frac {\alpha ^{i}}{1.2.3\ldots i\sin ^{2i}\Theta }}{\frac {d^{i}\left[\left(c^{-{\frac {as'}{l}}}-1\right)^{i}c^{-{\frac {as'}{l}}}\right]}{ds'^{i}}}={\frac {\left(\alpha {\frac {a}{l}}\right)^{i}}{1.2.3\ldots i\sin ^{2i}\Theta }}$

$\times \left[(i+1)^{i}c^{-(i+1){\frac {a}{l}}s'}-ii^{i}c^{-i{\frac {a}{l}}s'}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-1)^{i}c^{-(i-1){\frac {a}{l}}s'}-\ldots \right].$

Il faut multiplier chacun des termes de ce développement par

${\frac {\alpha {\frac {a}{l}}ds'\sin \Theta }{(1-\alpha ){\sqrt {\cos ^{2}\Theta +2s'\sin ^{2}\Theta }}}},$

et prendre ensuite les intégrales depuis $s'=0$ jusqu’à $s'=1-{\frac {\alpha \left(1-c^{-{\frac {a}{l}}}\right)}{\sin ^{2}\Theta }}.$ Mais comme, à cette dernière limite, $c^{-{\frac {as'}{l}}}$ est d’une petitesse excessive, parce que $c$ surpasse $2,$ et que ${\frac {a}{l}}$ est un très-grand nombre et à peu près égal à $800,$ on voit que les intégrales peuvent, sans crainte d’aucune erreur appréciable, être prises depuis $s'=0$ jusqu’à $s'=\infty .$ Considérons, cela posé, la différentielle

${\frac {{\frac {a}{l}}ds'c^{-{\frac {ra}{l}}s'}\sin \Theta }{\sqrt {\cos ^{2}\Theta +2s'\sin ^{2}\Theta }}},$

et faisons

${\frac {1}{2}}{\frac {\cos ^{2}\Theta }{\sin ^{2}\Theta }}+s'={\frac {l}{ar}}t^{2}\,;$

la différentielle précédente devient

${\sqrt {\frac {2a}{lr}}}dt.c^{{\frac {ra}{2l}}{\frac {\cos ^{2}\Theta }{\sin ^{2}\Theta }}-t^{2}}.$

L’intégrale doit être prise depuis $t={\sqrt {\frac {ar}{2l}}}{\frac {\cos \Theta }{\sin \Theta }}$ jusqu’à $t=\infty \,;$ supposons que l’on ait, dans ces limites.

$\int dtc^{-t^{2}}=c^{-{\frac {ar}{2l}}{\frac {\cos ^{2}\Theta }{\sin ^{2}\Theta }}}\Psi (r)\,;$