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aux puissances de $s,$

(5)

$\left\{{\begin{aligned}d\theta &={\frac {{\cfrac {\alpha a}{l}}ds.c^{-{\frac {as}{l}}}\sin \Theta }{(1-\alpha )\left[\cos ^{2}\Theta -2\alpha \left(1-c^{-{\frac {as}{l}}}\right)+2s\sin ^{2}\Theta \right]^{\frac {1}{2}}}}\\\\&-{\frac {\alpha {\cfrac {a}{l}}sds.c^{-{\frac {as}{l}}}\sin \Theta \left[\cos ^{2}\Theta +{\frac {3}{2}}s\sin ^{2}\Theta -2\alpha \left(1-c^{-{\frac {as}{l}}}\right)\right]}{(1-\alpha )\left[\cos ^{2}\Theta -2\alpha \left(1-c^{-{\frac {as}{l}}}\right)+2s\sin ^{2}\Theta \right]^{\frac {3}{2}}}}\end{aligned}}\right.$

Le premier terme de cette expression différentielle est beaucoup plus grand que les autres, qui sont presque insensibles ; nous allons d’abord l’intégrer. Pour cela, nous ferons

$s=s'+\alpha {\frac {1-c^{-{\frac {as}{l}}}}{\sin ^{2}\Theta }},$

et nous aurons, par le n^o 21 du Livre II,

$c^{-{\frac {as}{l}}}=c^{-{\frac {as'}{l}}}-{\frac {\alpha a}{l\sin ^{2}\Theta }}\left(1-c^{-{\frac {as'}{l}}}\right)c^{-{\frac {as'}{l}}}$

$-{\frac {\alpha ^{2}a}{1.2.l\sin ^{4}\Theta }}{\frac {d\left[\left(1-c^{-{\frac {as'}{l}}}\right)^{2}c^{-{\frac {as'}{l}}}\right]}{ds'}}-\ldots$

$-{\frac {\alpha ^{i}a}{1.2.3\ldots i.l\sin ^{2i}\Theta }}{\frac {d^{i-1}\left[\left(1-c^{-{\frac {as'}{l}}}\right)^{i}c^{-{\frac {as'}{l}}}\right]}{ds^{'i-1}}}-\ldots .$

Le terme dont il s’agit deviendra donc, en observant que ${\frac {a}{l}}ds.c^{-{\frac {as}{l}}}$ est égal à $-d.c^{-{\frac {as}{l}}},$

${\frac {\alpha {\frac {a}{l}}\sin \Theta ds'}{(1-\alpha )\left(\cos ^{2}\Theta +2s'\sin ^{2}\Theta \right)^{\frac {1}{2}}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}c^{-{\frac {as'}{l}}}&-\qquad \qquad {\frac {\alpha }{\sin ^{2}\Theta }}{\frac {d\left[\left(c^{-{\frac {as'}{l}}}-1\right)c^{-{\frac {as'}{l}}}\right]}{ds'}}\\\\&+\qquad {\frac {\alpha ^{2}}{1.2\sin ^{4}\Theta }}{\frac {d^{2}\left[\left(c^{-{\frac {as'}{l}}}-1\right)^{2}c^{-{\frac {as'}{l}}}\right]}{ds'^{2}}}\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\pm {\frac {\alpha ^{i}}{1.2.3\ldots i\sin ^{2i}\Theta }}{\frac {d^{i}\left[\left(c^{-{\frac {as'}{l}}}-1\right)^{i}c^{-{\frac {as'}{l}}}\right]}{ds'^{i}}}\\&\mp \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$

le signe supérieur ayant lieu si $i$ est pair et l’inférieur si $i$ est impair.