Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/287

qu’infiniment près de la surface extérieure de l’atmosphère. Soit donc, à cette surface, $r=a+l,$ et faisons

$t^{2}={\frac {1+{\cfrac {4{\rm {K\rho }}}{n^{2}}}}{\left[1+{\cfrac {4{\rm {K(\rho )}}}{n^{2}}}\right]{\cfrac {a^{2}}{(a+l)^{2}}}\sin ^{2}\Theta }}-1\,;$

l’équation (3) du numéro précédent deviendra

$d\theta =-{\frac {dt}{1+t^{2}}},$

ce qui donne, en intégrant,

$\delta \theta ={\rm {\operatorname {arc} \operatorname {tang} T-\operatorname {arc} \operatorname {tang} T',}}$

et par conséquent

$\operatorname {tang} \delta \theta ={\rm {{\frac {T-T'}{1+TT'}},}}$

où l’on doit observer que $\delta \theta$ exprime la réfraction ou ce qu’il faut ajouter à la valeur de $\Theta$ pour avoir la distance de l’astre au zénith, dépouillée de la réfraction. On doit observer encore que, l’intégrale devant être prise depuis $\rho =(\rho )$ jusqu’à $\rho =0,\ {\rm {T}}$ est la valeur de $t$ à l’origine de la courbe, où $\rho =(\rho ),$ et ${\rm {T'}}$ est sa valeur à la fin, où $\rho =0,$ ce qui donne

${\rm {T}}^{2}={\frac {(a+l)^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\Theta }}-1,\qquad {\rm {T}}'^{2}={\frac {(a+l)^{2}}{\left[1+{\cfrac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )\right]a^{2}\sin ^{2}\Theta }}-1.$

Pour conclure de ces formules la réfraction horizontale, il faut y supposer $\sin \Theta =1\,;$ il faut, de plus, connaître les valeurs de $l$ et de ${\cfrac {\rm {K}}{n^{2}}}(\rho ).$ Au niveau de la mer, à la température de la glace fondante, et la hauteur du baromètre étant $0^{\rm {m}}{,}76,$ on a

$l=7974^{\rm {m}}.$

C’est la valeur qui résulte d’un grand nombre d’observations sur les l’auteur des montagnes, déterminées par le baromètre et comparées à