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tous les sens. Dans cette hypothèse, il est visible que l’action du corps sur la molécule de lumière est perpendiculaire à sa surface.

Considérons d’abord cette molécule avant son entrée dans le corps. Soit $s$ la distance de la molécule de lumière à une couche infiniment mince du corps, parallèle à sa surface. Soit $\rho ds\Pi (s)$ l’action que cette couche exerce sur la molécule, $\rho$ étant la densité du corps et $ds$ étant l’épaisseur de la couche. Si l’on nomme $s'$ la valeur de $s$ relative à la surface extérieure, il faudra, pour avoir l’action totale du corps sur la molécule de lumière, intégrer $\rho ds\Pi (s)$ depuis $s=s'$ jusqu’à $s=\infty .$ Soit $\Pi _{1}(s')$ l’intégrale $\int ds\Pi (s)$ prise dans ces limites.

Maintenant, si l’on nomme $x$ et $s'$ les coordonnées orthogonales de la molécule de lumière, $x$ étant parallèle à la surface du corps et dans le plan formé par la verticale à cette surface et par la direction du rayon lumineux, on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&0,\\{\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}=&-\rho \Pi _{1}(s'),\end{aligned}}$

$dt$ étant l’élément du temps, supposé constant. On a donc, en multipliant la première de ces équations par $dx,$ la seconde par $ds',$ et en intégrant leur somme,

${\frac {dx^{2}+ds'^{2}}{dt^{2}}}={\rm {const}}.-2\int \rho ds'\Pi _{1}(s').$

Pour déterminer la constante, nommons ${\rm {K}}$ l’intégrale $\int ds'\Pi _{1}(s'),$ prise depuis $s'=0$ jusqu’à $s'=\infty \,;$ nommons encore $n$ la vitesse de la lumière à une distance sensible du corps. À cette distance, $\int ds'\Pi _{1}(s')$ est égal à ${\rm {K,}}$ parce que l’action du corps sur la lumière n’est sensible qu’à de très-petites distances ; on a donc

$n^{2}={\rm {const}}.-2\rho {\rm {K,}}$

et par conséquent

${\rm {const}}.=n^{2}+2\rho {\rm {K,}}$