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sphériques et de densités variables suivant une fonction de leur hauteur. Concevons encore que le rayon parte de l’œil de l’observateur pour retourner à l’astre. Il décrira visiblement la même courbe qu’il a décrite en venant de l’astre à l’observateur. Nommons $r$ le rayon mené du centre de la Terre à un point quelconque de cette trajectoire, $v$ l’angle que ce rayon forme avec la verticale de l’observateur ou avec le rayon mené du centre de la Terre, supposée sphérique, à l’observateur. Il est visible que la force qui écarte le rayon de lumière de sa direction est dirigée vers le centre de la couche ou de la Terre, puisqu’il n’y a pas de raison pour qu’elle s’en éloigne d’un côté plutôt que de l’autre. Nommons $\varphi$ cette force, que nous considérerons comme une fonction de $r$. L’équation (3) du n^o 2 du Livre II donnera

$dv={\frac {cdr}{r^{2}{\sqrt {q^{2}-{\cfrac {c^{2}}{r^{2}}}-2\int \varphi dr}}}},$

$q^{2}$ étant une constante ajoutée à l’intégrale $2\int \varphi dr.$ De plus, si l’on nomme $dt$ l’élément du temps, on a, par le même numéro,

$r^{2}dv=cdt.$

Soient $\theta$ l’angle que la tangente à la courbe fait avec la verticale de l’observateur, et $v'$ l’angle que cette même tangente fait avec le rayon $r\,;$ on aura

$v+v'=\theta ,$

$\operatorname {tang} v'={\frac {rdv}{dr}}={\frac {c}{r{\sqrt {q^{2}-{\cfrac {c^{2}}{r^{2}}}-2\int \varphi dr}}}},$

d’où il est facile de conclure

(2)

$d\theta ={\frac {{\cfrac {c}{r}}\varphi dr}{\left(q^{2}-2\int \varphi dr\right){\sqrt {q^{2}-{\cfrac {c^{2}}{r^{2}}}-2\int \varphi dr}}}}.$

L’angle $\theta$ à l’origine de la courbe est le complément de la hauteur apparente de l’astre. À l’autre extrémité, il exprime le complément