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par la Terre, il sera beaucoup plus simple de calculer les altérations des éléments de l’orbite par les formules du Chapitre précédent. Considérons la plus importante de ces variations, celle du moyen mouvement de la comète. On a, par ce qui précède,

$dn=3and{\rm {R}}=$

$3anm'{\frac {x'dx+y'dy+z'dz}{r'^{3}}}-3anm'{\frac {(x'-x)dx+(y'-y)dy+(z'-z)dz}{f^{3}}}.$

Dans l’intervalle de temps pendant lequel l’action de la Terre est sensible, on peut considérer les mouvements de la planète et de la comète comme rectilignes. Soit donc

${\begin{alignedat}{3}x=&{\rm {A}}+\alpha t,\qquad &y=&{\rm {B}}+{\text{ϐ}}t,\qquad &z=&{\rm {C}}+\gamma t,\\x'=&{\rm {A}}'+\alpha 't,\qquad &y'=&{\rm {B}}'+{\text{ϐ}}'t,\qquad &z'=&{\rm {C}}'+\gamma 't\,;\end{alignedat}}$

on aura, en n’ayant égard qu’au terme divisé par $f^{3},$ le seul qui puisse être sensible à cause de la petitesse de $f,$

$dn=-{\frac {3anm'({\rm {F+H}}t)dt}{\left({\rm {M+2N}}t+{\rm {L}}t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

équation dans laquelle on doit observer que l’on a

${\begin{aligned}{\rm {F=}}&{\rm {(A'-A)\alpha +(B'-B){\text{ϐ}}+(C'-C)\gamma ,}}\\{\rm {H=}}&(\alpha '-\alpha )\alpha \ +({\text{ϐ}}'-{\text{ϐ}}){\text{ϐ}}\,+(\gamma '-\gamma )\gamma ,\\{\rm {M=}}&{\rm {(A'-A)^{2}\ +(B'-B)^{2}\,+(C'-C)^{2},}}\\{\rm {N=}}&{\rm {(A'-A)(\alpha '-\alpha )+(B'-B)({\text{ϐ}}'-{\text{ϐ}})+(C'-C)(\gamma '-\gamma ),}}\\{\rm {L=}}&(\alpha '-\alpha )^{2}\ \ +({\text{ϐ}}'-{\text{ϐ}})^{2}\ +(\gamma '-\gamma )^{2}.\end{aligned}}$

On aura ainsi

$\delta n=-3m'an\int {\frac {dt({\rm {F+H}}t)}{\left({\rm {M+2N}}t+{\rm {L}}t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

L’intégrale doit être prise pour tout le temps durant lequel l’action de la planète sur la comète est sensible. Avant et après, la distance ${\sqrt {{\rm {M+2N}}t+{\rm {L}}t^{2}}}$ de la comète à la planète est considérable et rend