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Les équations précédentes donnent encore

(S)

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}=&x'''_{1}(\cos \varpi \cos \theta -\sin \varpi \sin \theta \cos \varphi )\\&-y'''_{1}(\sin \varpi \cos \theta +\cos \varpi \sin \theta \cos \varphi ),\\y_{1}=&y'''_{1}(\cos \varpi \cos \theta \cos \varphi -\sin \varpi \sin \theta )\\&+x'''_{1}(\sin \varpi \cos \theta \cos \varphi +\cos \varpi \sin \theta ),\\z_{1}=&y'''_{1}\cos \varpi \sin \varphi +x'''_{1}\sin \varpi \sin \varphi .\end{aligned}}\right.$

Si l’on désigne par ${\overline {x_{1}}},{\overline {y_{1}}},{\overline {x'''_{1}}},\ldots$ les valeurs de $x_{1},y_{1},x'''_{1},\ldots$ à l’entrée de la comète dans la sphère d’activité de la planète, et si l’on désigne par les mêmes lettres surmontées de deux traits les mêmes quantités à sa sortie, on aura évidemment

${\begin{alignedat}{2}{\overline {x'''_{1}}}=&{\overline {\overline {x'''_{1}}}},&{\overline {y'''_{1}}}=&{\overline {\overline {y'''_{1}}}}\\{\frac {\overline {dx'''_{1}}}{dt}}=&-{\frac {\overline {\overline {dx'''_{1}}}}{dt}},\qquad &{\frac {\overline {dy'''_{1}}}{dt}}=&{\frac {\overline {\overline {dy'''_{1}}}}{dt}}.\end{alignedat}}$

Au moyen de ces équations, on aura d’abord les valeurs de ${\overline {\overline {x'''_{1}}}},{\overline {\overline {y'''_{1}}}},$${\frac {\overline {\overline {dx'''_{1}}}}{dt}},{\frac {\overline {\overline {dy'''_{1}}}}{dt}}$ en fonction des valeurs de $x_{1},y_{1},z_{1},{\frac {dx_{1}}{dt}},{\frac {dy_{1}}{dt}},{\frac {dz_{1}}{dt}}$ à l’entrée dans la sphère d’activité, et l’on en conclura, par les équations (S) et leurs différentielles, les valeurs de $x_{1},y_{1},z_{1},{\frac {dx_{1}}{dt}},{\frac {dy_{1}}{dt}},{\frac {dz_{1}}{dt}}$ à la sortie, en fonction de leurs valeurs à l’entrée. En ajoutant ensuite à ces valeurs les valeurs de $x',y',z',{\frac {dx'}{dt}},{\frac {dy'}{dt}},{\frac {dz'}{dt}}$ correspondantes à la sortie, on aura les valeurs correspondantes de $x,y,z,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ et par conséquent on aura, au moyen des formules des n^o 18 et 19 du Livre II, les nouveaux éléments de l’orbite de la comète. Pour avoir les valeurs de $x',y',z'$et de leurs différentielles au sortir de la sphère d’activité, il faut connaître le temps que la comète emploie à traverser cette sphère, et cela est facile par les formules du mouvement elliptique, exposées dans le Chapitre III du Livre II.

12. Dans le cas où les variations $\delta x,\delta y,\delta z$ sont très-petites, comme cela a eu lieu par rapport au mouvement de la comète de 1770 troublé