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ce qui donne l’excentricité $e_{1}.$ Ainsi l’on aura tous les éléments de l’orbite relative de la comète.

Rapportons maintenant les coordonnées $x_{1}$, et $y_{1}$, à la ligne des nœuds. Soient $x'_{1},y'_{1},z'_{1}$ ces nouvelles coordonnées ; nous aurons

${\begin{aligned}x'_{1}=&x_{1}\cos \theta +y_{1}\sin \theta ,\\y'_{1}=&y_{1}\cos \theta -x_{1}\sin \theta ,\\z'_{1}=&z_{1}.\end{aligned}}$

Rapportons ensuite les coordonnées $x'_{1}$ et $y'_{1}$ au plan même de l’orbite relative. Soient $x''_{1}$ et $y''_{1}$, les nouvelles coordonnées ; nous aurons

${\begin{aligned}x'_{1}=&x''_{1},\\y'_{1}=&y''_{1}\cos \varphi ,\\z_{1}=&y''_{1}\sin \varphi .\end{aligned}}$

Enfin, rapportons les coordonnées $x''_{1}$ et $y''_{1}$, au grand axe, et supposons que $\varpi$ soit la longitude du périhélie comptée de la ligne des nœuds ; nous aurons, en nommant $x'''_{1}$ et $y'''_{1}$ les nouvelles coordonnées,

${\begin{aligned}x'''_{1}=x''_{1}\cos \varpi +y''_{1}\sin \varpi ,\\y'''_{1}=y''_{1}\cos \varpi -x''_{1}\sin \varpi .\end{aligned}}$

Ces diverses équations donnent

${\begin{aligned}x'''_{1}\cos \varphi =&\quad x_{1}(\cos \varpi \cos \theta \cos \varphi -\sin \varpi \sin \theta )\\&+y_{1}(\cos \varpi \sin \theta \cos \varphi +\sin \varpi \cos \theta ),\\y'''_{1}\cos \varphi =&\quad y_{1}(\cos \varpi \cos \theta -\sin \varpi \sin \theta \cos \varphi )\\&-x_{1}(\cos \varpi \sin \theta +\sin \varpi \cos \theta \cos \varphi ).\end{aligned}}$

On aura donc ainsi les valeurs de $x'''_{1}$ et $y'''_{1}$ relatives à l’entrée de la comète dans la sphère d’activité de la planète. On aura pareillement, en différentiant ces équations, les valeurs de ${\frac {dx'''_{1}}{dt}}$ et de ${\frac {dy'''_{1}}{dt}}$ relatives à cette entrée.