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11. Développons cette hypothèse, et déterminons les nouveaux éléments de l’orbite de la comète au sortir de la sphère d’attraction de la planète. Pour cela, commençons par déterminer les éléments de l’orbite relative de la comète autour de la planète dans cette sphère d’attraction. On a, par le n^o 18 du Livre II, les six équations suivantes :

$c_{1}={\frac {x_{1}dy_{1}-y_{1}dx_{1}}{dt}},\quad c_{1}'={\frac {x_{1}dz_{1}-z_{1}dx_{1}}{dt}},\quad c_{1}''={\frac {y_{1}dz_{1}-z_{1}dy_{1}}{dt}},$

${\begin{aligned}h_{1}=&-{\frac {m'y_{1}}{f}}+{\frac {y_{1}\left(dx_{1}^{2}+dz_{1}^{2}\right)}{dt^{2}}}-{\frac {x_{1}dx_{1}dy_{1}}{dt^{2}}}-{\frac {z_{1}dz_{1}dy_{1}}{dt^{2}}},\\l_{1}=&-{\frac {m'x_{1}}{f}}+{\frac {x_{1}\left(dy_{1}^{2}+dz_{1}^{2}\right)}{dt^{2}}}-{\frac {y_{1}dy_{1}dx_{1}}{dt^{2}}}-{\frac {z_{1}dz_{1}dx_{1}}{dt^{2}}},\\{\frac {m'}{a_{1}}}=&{\frac {2m'}{f}}-{\frac {dx_{1}^{2}+dy_{1}^{2}+dz_{1}^{2}+}{dt^{2}}},\end{aligned}}$

$c_{1},c'_{1},c''_{1},h_{1},l_{1},a_{1}$ étant des constantes arbitraires. Si l’on nomme la longitude du nœud ascendant de l’orbite relative, comptée de l’axe des $x_{1}$, et $\varphi$ l’inclinaisonde cette orbite sur le plan des $x_{1}$ et des $y_{1},$ on aura, par le n^o 19 du Livre II,

$\operatorname {tang} \theta ={\frac {c_{1}''}{c'_{1}}},\qquad \operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sqrt {c_{1}^{'2}+c_{1}^{''2}}}{c_{1}}},$

$c_{1},c'_{1},c''_{1}$ étant donnés par ce qui précède, en fonction des valeurs de $x_{1},y_{1},z_{1},{\frac {dx_{1}}{dt}},{\frac {dy_{1}}{dt}},{\frac {dz_{1}}{dt}}$ à l’entrée de la comète dans la sphère d’activité de la planète, valeurs qui sont supposées connues ; on connaîtra donc ainsi les valeurs de $\theta$ et de $\varphi .$

Si l’on nomme ensuite ${\rm {I}}$ la longitude de la projection du périhélie, on aura, par le même numéro,

$\operatorname {tang} {\rm {I}}={\frac {h_{1}}{l_{1}}}\,;$

$a_{1}$ étant le demi-grand axe, il sera donné par ce qui précède. On a ensuite, par le numéro cité,

$m'a_{1}\left(1-e_{1}^{2}\right)=2m'f-{\frac {m'f^{2}}{a_{1}}}-{\frac {f^{2}df^{2}}{dt^{2}}},$