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située entre la planète et le Soleil. L’action du Soleil sur la comète sera ${\frac {1}{r^{2}}}\,;$ celle de la planète sur la comète sera ${\frac {m'}{(r'-r)^{2}}}\,;$ il faut donc que, au delà de la limite que nous supposons à la sphère d’activité de la planète, ${\frac {1}{r^{2}}}$ l’emporte beaucoup sur ${\frac {m'}{(r'-r)^{2}}}.$ La différence des actions du Soleil sur la comète et la planète est ${\frac {1}{r^{2}}}-{\frac {1}{r'^{2}}},$ ou à très-peu près ${\frac {2(r'-r)}{r^{3}}}\,;$ en deçà de la limite, cette quantité doit être fort petite relativement à ${\frac {m'}{(r'-r)^{2}}}.$ On satisfera à ces deux conditions si l’on suppose ${\frac {m'}{(r'-r)^{2}}}$ moyen proportionnel entre ${\frac {1}{r^{2}}}$ et $2{\frac {r'-r}{r^{3}}},$ ce qui donne, pour le rayon $r'-r$ de la sphère d’activité de la planète,

$r'-r=r{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{2}}m'^{2}}}.$

L’erreur sera d’autant moindre que la masse de la planète sera plus petite. On peut même beaucoup augmenter le rayon de cette sphère sans qu’il en résulte d’erreur sensible. En effet, si l’on reprend la première des équations (Q),

$0={\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+{\frac {(m+m')x_{1}}{f^{3}}}+{\frac {x}{r^{3}}}-{\frac {x'}{r'^{3}}},$

on voit que le terme ${\frac {x}{r^{3}}}-{\frac {x'}{r'^{3}}}$ n’ajoute à la valeur de $x_{1}$ que la double intégrale $\iint dt^{2}\left({\frac {x'}{r'^{3}}}-{\frac {x}{r^{3}}}\right)\,;$ or, cette double intégrale est très-petite lorsqu’elle ne s’étend qu’à une valeur de $t$ peu considérable ; car la fonction ${\frac {x'}{r'^{3}}}-{\frac {x}{r^{3}}}$ est fort petite, $x'$ et $r'$ différant très-peu de $x$ et de $r.$ On peut donc, dans le calcul des perturbations d’une comète qui approche très-près d’une planète, supposer à la planète une sphère d’activité dans laquelle le mouvement relatif de la comète n’est soumis qu’à l’attraction de la planète et au delà de laquelle le mouvement absolu de la comète autour du Soleil n’est soumis qu’à l’action du Soleil.