l’orbite et du nœud, dues à la partie de
indépendante de
dans la partie de l’orbite que l’on considère.
8. On aura les variations des éléments de l’orbite, relatives à la partie
de
, par les formules des no 3 et 4, en changeant
en
dans les expressions de
et en les intégrant par des quadratures. Dans la portion supérieure de l’orbite,
étant fort petit, les valeurs de ces intégrales seront aussi très-petites ; mais dans cette portion, où il est avantageux de partager ainsi
en deux parties, on peut déterminer, sans quadratures et par des séries convergentes, les variations des éléments de l’orbite correspondantes à
Reprenons pour cela l’expression de
du no 2. En la développant en série, on aura
![{\displaystyle {\rm {R}}'={\frac {m'r'^{2}}{2r^{3}}}-{\frac {3}{2}}m'{\frac {\left(xx'+yy'+zz'-{\frac {1}{2}}r'^{2}\right)^{2}}{r^{5}}}-{\frac {5}{2}}m'{\frac {\left(xx'+yy'+zz'-{\frac {1}{2}}r'^{2}\right)^{3}}{r^{7}}}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8381482cc90330292ea2c8c9894cec5cd33248)
or on a
![{\displaystyle x=r\cos v,\qquad y=r\sin v,\qquad z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c20a66d2281e38f2f6296b96830e47e1b5d67d)
![{\displaystyle r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos(v-\varpi )}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a0d6d64debd4ea6b5099a38dd42b8d2769f683)
on a ensuite
en fonction de sinus et de cosinus de
et de ses multiples. En substituant
au lieu de
dans les expressions différentielles des éléments de l’orbite, en développant ces expressions et en observant que, par le no 16 du Livre II,
![{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}\ dv\ =&dt\ {\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}},\\r'^{2}dv'=&dt'{\sqrt {a'\left(1-e'^{2}\right)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b012fbc365dcd0b78dc3320c976e05e1441bbbc)
la partie de chacune de ces expressions différentielles correspondante à
sera exprimée par une suite de termes de la forme
![{\displaystyle {\rm {H}}dv'\cos(iv+i'v'+\Lambda ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c01e5d7465d215d110e9480645d6a57ec2888a53)
et
étant des nombres entiers positifs ou négatifs, et
et
étant