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en substituant ensuite, pour $\delta h$ et $\delta l,$ leurs expressions précédentes, on trouvera

${\begin{aligned}\int \delta 'ndt+\delta \varepsilon -\delta \varpi =&-m'nqt+{\frac {m'(xy'-x'y)}{a^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}}}-{\frac {\delta h(1-e\cos u)^{2}}{e{\sqrt {1-e^{2}}}}}\\\\&-{\frac {\delta l\sin u\left(2-e^{2}-e\cos u\right)}{1-e^{2}}}+{\rm {const.}}\end{aligned}}$

Si l’on retranche la valeur du second membre de cette équation, à la nouvelle origine de $t,$ de sa valeur à un autre point de l’orbite, on aura la variation de l’anomalie moyenne dans cet intervalle, due à la partie de ${\rm {R}}$ indépendante de ${\rm {R'.}}$

Pour avoir les variations de l’inclinaison de l’orbite et du nœud dues à la même partie de ${\rm {R}}$, on doit observer que, par le n^o 64 du Livre II, on a

$e'={\frac {xdz-zdx}{dt}},\qquad c''={\frac {ydz-zdy}{dt}},$

ce qui donne

${\begin{aligned}\delta c'\ =&{\frac {xd\delta z+\delta xdz-zd\delta x-\delta zdx}{dt}},\\\\\delta c''=&{\frac {yd\delta z+\delta ydz-zd\delta y-\delta zdy}{dt}}.\end{aligned}}$

Si l’on substitue, pour $\delta x,\delta y$ et $\delta z,$ respectivement ${\frac {1}{3}}m'x+m'x',$${\frac {1}{3}}m'y+m'y',\ {\frac {1}{3}}m'z+m'z',$ on aura

${\begin{aligned}\delta c'\ =&{\frac {2}{3}}m'c'+m'{\frac {xdz'+x'dz-zdx'-z'dx}{dt}},\\\\\delta c''=&{\frac {2}{3}}m'c''+m'{\frac {ydz'+y'dz-zdy'-z'dy}{dt}}.\end{aligned}}$

Observons maintenant que $z,{\frac {dz}{dt}},c'$ et $c''$ sont ou nuls ou de l’ordre des forces perturbatrices ; en négligeant donc le carré de ces forces, on aura

${\begin{aligned}\delta c'\ =&m'{\frac {xdz'-z'dx}{dt}},\\\\\delta c''=&m'{\frac {ydz'-z'dy}{dt}},\end{aligned}}$

équations d’où l’on tirera, par le n^o 3, les variations des inclinaisons de