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Il suit de là que, pour obtenir la variation de $h$, depuis un point donné de l’orbite jusqu’à un autre point, due à la partie de ${\rm {R}}$ indépendante de ${\rm {R',}}$ il suffit de retrancher la valeur du second membre de l’équation précédente dans le premier point de sa valeur dans le second point.

Si l’on change, dans l’équation précédente, $h$ en $l,\ x$ en $y,\ x'$ en $y',$ et réciproquement, on aura la variation de $l$ due à la partie de ${\rm {R}}$ indépendante de ${\rm {R',}}$ ce qui donne

${\begin{aligned}\delta l=&m'\left(l+{\frac {x}{r}}\right)+m'y{\frac {xy'-x'y}{r^{3}}}+m'dy'{\frac {xdy-ydx}{dt^{2}}}\\&-m'dy{\frac {xdy'-y'dx+x'dy-ydx')}{dt^{2}}}.\end{aligned}}$

En retranchant la valeur du second membre de cette équation dans un point donné de l’orbite de sa valeur dans un autre point, on aura dans cet intervalle la variation de $l$ due à la partie de ${\rm {R}}$ indépendante de ${\rm {R'.}}$ Les variations de $h$ et de $l$ donnent celles de $e$ et de $\varpi ,$ en observant que l’on a

$e\delta e=h\delta h+l\delta l,\qquad e^{2}\delta \varpi =l\delta h-h\delta l.$

On a, par le n^o 64 du Livre II,

${\frac {1}{a}}={\frac {2}{r}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{dt^{2}}},$

ce qui donne

${\frac {\delta a}{a^{2}}}={\frac {2\delta r}{r^{2}}}+{\frac {2dxd\delta x+2dyd\delta y}{dt^{2}}}.$

En substituant, pour $\delta x$ et $\delta y,\ {\frac {1}{3}}m'x+m'x'$ et ${\frac {1}{3}}m'y+m'y',$ on aura

${\frac {\delta a}{a^{2}}}={\frac {2}{3}}{\frac {m'}{r}}+{\frac {2}{3}}m'{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{dt^{2}}}+2m'{\frac {xx'+yy'}{r^{3}}}+2m'{\frac {dxdx'+dydy'}{dt^{2}}}.$

Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de ${\frac {dx^{2}+dy^{2}}{dt^{2}}},$ sa valeur ${\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}},$ on aura

${\frac {\delta a}{a}}={\frac {2m'a}{r}}-{\frac {2}{3}}m'+2m'a{\frac {xx'+yy'}{r^{3}}}+2m'a{\frac {dxdx'+dydy'}{dt^{2}}}.$