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coup plus grand que celui de la planète perturbatrice. Par le même numéro, les perturbations de la comète dues à cette dernière partie de ${\rm {R}}$ sont représentées en supposant

$\delta x={\frac {1}{2}}m'x+m'x,\qquad \delta y={\frac {1}{2}}m'y+m'y,\qquad \delta z={\frac {1}{2}}m'z+m'z.$

Cela posé, on a par le n^o 64 du Livre II, en négligeant le carré de $z,$

$0=h+y\left({\frac {1}{r}}-{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\right)+{\frac {xdxdy}{dt^{2}}}.$

En faisant varier cette équation par rapport à la caractéristique $\delta ,$ on aura

$0=\delta h+\delta y\left({\frac {1}{r}}-{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\right)-y\left({\frac {\delta r}{r^{2}}}+{\frac {2xdxdy}{dt^{2}}}\right)$

$+{\frac {xdxd\delta y}{dt^{2}}}+{\frac {xd\delta xdy}{dt^{2}}}+\delta x{\frac {dxdy}{dt^{2}}}.$

Si l’on substitue, pour $\delta x,\delta y,\delta z,s$ leurs valeurs précédentes, on aura

${\begin{aligned}\delta h=&m'\left(y{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {xdxdy}{dt^{2}}}\right)-m'y'\left({\frac {1}{r}}-{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\right)+m'y{\frac {xx'+yy'}{r^{3}}}\\\\&+{\frac {2m'ydxdx'}{dt^{2}}}-{\frac {m'xdxdy'}{dt^{2}}}-{\frac {m'xdydx'}{dt^{2}}}-{\frac {m'x'dxdy}{dt^{2}}}.\end{aligned}}$

Cette valeur de $\delta h,$ augmentée d’une constante arbitraire, exprime l’altération de $h$ due à la partie de ${\rm {R}}$ indépendante de ${\rm {R'\,;}}$ elle doit donc résulter de l’intégration de l’expression précédente de $dh,$ en y substituant pour ${\rm {R}}$ la fonction

$-{\frac {m'}{r}}-m'(xx'+yy'+zz')\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{r'^{3}}}\right)\,;$

c’est, en effet, ce que le calcul confirme a posteriori, en observant que l’on peut supposer ici ${\frac {m'x}{r^{3}}},{\frac {m'x'}{r^{3}}},\ldots$ égaux à $-m'{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},-m'{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}},\ldots .$ Si l’on substitue, dans cette valeur de $\delta h,\ h+{\frac {y}{r}}$ au lieu de $y{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {xdxdy}{dt^{2}}},$ on aura

${\begin{aligned}\delta h=&m'\left(h+{\frac {y}{r}}\right)-m'x{\frac {xy'-x'y}{r^{3}}}-{\frac {m'dx'(xdy-ydx)}{dt^{2}}}\\&-m'{\frac {dx(xdy'-y'dx+x'dy-ydx')}{dt^{2}}}.\end{aligned}}$