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et ainsi de suite ; partant,

${\begin{aligned}\int y^{(i)}di=&{\frac {1}{2}}y^{(0)}+y^{(1)}+y^{(2)}+\ldots +y^{(n-1)}+{\frac {1}{2}}y^{(n)}\\&-\ \ \ {\frac {1}{12}}\,\ \ \left(\Delta \ \,y^{(n)}-\Delta y^{(0)}\right)\\&+\ \ \ {\frac {1}{24}}\ \ \,\left(\Delta ^{2}y^{(n)}-\Delta ^{2}y^{(0)}\right)\\&-\ \ {\frac {19}{720}}\ \,\left(\Delta ^{3}y^{(n)}-\Delta ^{3}y^{(0)}\right)\\&+\ \ {\frac {3}{160}}\ \,\left(\Delta ^{4}y^{(n)}-\Delta ^{4}y^{(0)}\right)\\&-{\frac {863}{60480}}\left(\Delta ^{5}y^{(n)}-\Delta ^{5}y^{(0)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Les valeurs de $\Delta y^{(n)},\Delta ^{2}y^{(n)},\ldots$ dépendent de $y^{(n+1)},y^{(n+2)},\ldots ,$ et l’on est censé n’avoir calculé que les ordonnées $y^{(0)},y^{(1)},\ldots ,y^{(n)}.$ Pour résoudre cette difficulté, on observera que le coefficient de $t^{n}$ dans le développement de la fonction $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{r}$ est $\Delta ^{r}y^{(n)}\,;$ or on a

$u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{r}=u(1-t)^{r}\left[1-(1-t)\right]^{-r}$

$=u(1-t)^{r}\left[1+r(1-t)+{\frac {r(r+1)}{1.2}}(1-t)^{2}+\ldots \right].$

Le coefficient de $t^{n}$ dans le développement de $u(1-t)^{q}$ est généralement $\Delta ^{q}y^{(n-q)}.$ L’équation précédente donne donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

$\Delta ^{r}y^{(n)}=\Delta ^{r}y^{(n-r)}+r\Delta ^{r+1}y^{(n-r-1)}+{\frac {r(r+1)}{1.2}}\Delta ^{r+2}y^{(n-r-2)}+\ldots .$

En faisant successivement $r=1,r=2,r=3,\ldots ,$ on aura des valeurs de $\Delta y^{(n)},\Delta ^{2}y^{(n)},\ldots$ qui ne dépendront que des ordonnées $y^{(n)},y^{(n-1)},\ldots .$ En les substituant dans l’expression précédente de $\int y^{(i)}di,$ on aura

(P)

$\left\{{\begin{aligned}\int y^{(i)}di=&{\frac {1}{2}}y^{(0)}+y^{(1)}+y^{(2)}+\ldots +y^{(n-1)}+{\frac {1}{2}}y^{(n)}\\&-\ \ \ {\frac {1}{12}}\,\ \ \left(\Delta \ \,y^{(n-1)}-\Delta y^{(0)}\right)\\&-\ \ \ {\frac {1}{24}}\,\ \ \left(\Delta ^{2}y^{(n-2)}+\Delta ^{2}y^{(0)}\right)\\&-\ \ {\frac {19}{720}}\,\ \left(\Delta ^{3}y^{(n-3)}-\Delta ^{3}y^{(0)}\right)\\&-\ \ {\frac {3}{160}}\,\ \left(\Delta ^{4}y^{(n-4)}+\Delta ^{4}y^{(0)}\right)\\&-{\frac {863}{60480}}\left(\Delta ^{5}y^{(n-5)}-\Delta ^{5}y^{(0)}\right)\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$