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des équations (O). Il ne reste plus maintenant qu’à déterminer la situation de cette orbite.

Reprenons pour cela les équations du n^o 64 du Livre II :

${\begin{aligned}dc\,\ &=dt\left(y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}\right),\\\\dc'\,&=dt\left(z{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}\right),\\\\dc''&=dt\left(z{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}-y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}\right).\end{aligned}}$

Si l’on nomme $\varphi$ l’inclinaison de l’orbite sur le plan des $x$ et des $y$, et $\theta$ la longitude de son nœud ascendant, on aura, par le même numéro,

$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sqrt {c'^{2}+c''^{2}}}{c}},\qquad \operatorname {tang} \theta ={\frac {c''}{c'}},$

$a\left(1-e^{2}\right)=c^{2}+c'^{2}+c''^{2}.$

Lorsque l’on prend pour plan fixe celui de l’orbite primitive, $c'$ et $c''$ sont, ainsi que $z,$ de l’ordre des forces perturbatrices ; en négligeant donc le carré de ces forces et substituant pour ${\rm {R}}$ sa valeur, on aura

${\begin{aligned}{\frac {dc'}{dt}}\,=&-m'a(\cos u-e)z'\left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{f^{3}}}\right),\\\\{\frac {dc''}{dt}}=&-m'a{\sqrt {1-e^{2}}}.z'\left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{f^{3}}}\right),\\\\c=&{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}\,;\end{aligned}}$

or on a, par ce qui précède,

$ndt=du(1-e\cos u),\qquad n^{2}={\frac {1}{a^{3}}}\,;$

on aura donc

${\begin{aligned}{\frac {dc'}{c}}\,=&-{\frac {m'a^{2}du}{\sqrt {1-e^{2}}}}(1-e\cos u)(\cos u-e)z'\left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{f^{3}}}\right),\\\\{\frac {dc''}{c}}=&-m'a^{2}du(1-e\cos u)\sin u.z'\left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{f^{3}}}\right).\end{aligned}}$

En intégrant ces deux équations, on déterminera pour un instant