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et

${\begin{aligned}\delta x=&{\frac {m'}{3}}x+m'x'+\delta x_{1},\\\delta y=&{\frac {m'}{3}}y+m'y'+\delta y_{1},\\\delta z=&{\frac {m'}{3}}z+m'z'+\delta z_{1}\,;\end{aligned}}$

les équations différentielles en $\delta x,$ $\delta y$ et $\delta z$ donneront

(B)

$\left\{{\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}\delta x_{1}}{dt^{2}}}+{\frac {\delta x_{1}}{r^{3}}}-{\frac {3x\delta r_{1}}{r^{4}}}+{\frac {\partial {\rm {R'}}}{\partial x}},\\0=&{\frac {d^{2}\delta y_{1}}{dt^{2}}}+{\frac {\delta y_{1}}{r^{3}}}-{\frac {3y\delta r_{1}}{r^{4}}}+{\frac {\partial {\rm {R'}}}{\partial y}},\\0=&{\frac {d^{2}\delta z_{1}}{dt^{2}}}+{\frac {\delta z_{1}}{r^{3}}}-{\frac {3z\delta r_{1}}{r^{4}}}+{\frac {\partial {\rm {R'}}}{\partial z}}.\end{aligned}}\right.$

Dans ces équations, $\delta r_{1}$ est ce que devient $\delta r$ lorsque l’on y change $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ en $\delta x_{1},\,\delta y_{1},\ \delta z_{1}.$ Ces équations ne diffèrent des équations (A) qu’en ce que ${\rm {R}}$ y devient ${\rm {R'.}}$ Elles peuvent servir avec beaucoup d’avantage pour le calcul des perturbations de la comète dans la partie supérieure de son orbite, parce que ${\rm {R'}}$ est alors très-petit.

3. Considérons maintenant les variations des éléments de l’orbite. Prenons pour plan fixe celui de l’orbite primitive de la comète, ce qui permet de négliger le carré de $z,$ comme étant de l’ordre du carré de la force perturbatrice. En faisant, comme dans le n^o 50 du Livre II,

$h=e\sin \varpi ,\qquad l=e\cos \varpi ,$

$e$ étant le rapport de l’excentricité de l’orbite au demi-grand axe et $\varpi$ étant la longitude du périhélie comptée de l’axe des $x,$ on aura, par le n^o 64 du même Livre,

${\begin{aligned}dh=&dx\left(x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}-y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}\right)+(xdy-ydx){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}},\\\\dl=&dy\left(y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}\right)+(ydx-xdy){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}.\end{aligned}}$