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Les équations différentielles en $\delta y$ et $\delta z$ donnent évidemment des équations semblables. Supposons maintenant

${\begin{aligned}\delta x=&{\rm {A}}x+{\rm {A}}'x',\\\delta y=&{\rm {A}}y+{\rm {A}}'y',\\\delta z=&{\rm {A}}z+{\rm {A}}'z',\end{aligned}}$

et observons que l’on a à très-peu près

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {x}{r^{3}}},\qquad {\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}=-{\frac {x'}{r'^{3}}}\,;$

l’équation différentielle en $\delta x$ donnera

${\begin{aligned}0=&{\frac {{\rm {A}}'x'}{r^{3}}}-{\frac {{\rm {A}}'x'}{r'^{3}}}-{\frac {3{\rm {A}}x}{r^{3}}}-{\frac {3{\rm {A}}'x(xx'+yy'+zz')}{r^{5}}}\\\\&+{\frac {m'(x-x')}{r^{3}}}+{\frac {m'x'}{r'^{3}}}+{\frac {3m'x(xx'+yy'+zz')}{r^{5}}}.\end{aligned}}$

On satisfait à cette équation en faisant

${\rm {A}}={\frac {m'}{3}},\qquad {\rm {A}}'=m',$

ce qui donne

${\begin{aligned}\delta x=&{\frac {1}{3}}m'x+m'x',\\\delta y=&{\frac {1}{3}}y'x+m'y',\\\delta z=&{\frac {1}{3}}z'x+m'z'.\end{aligned}}$

Ces valeurs satisfont donc à l’équation différentielle en $\delta x,$ et il est clair qu’elles satisfont encore aux équations différentielles en $\delta y$ et $\delta z.$

Le résultat précédent est un corollaire fort simple du théorème que nous avons donné dans le n^o 10 du Livre II. Suivant ce théorème, lorsque la comète est à une grande distance du Soleil, elle peut être considérée comme étant attirée vers le centre commun de gravité du Soleil et de la planète par une masse égale à la somme de ces trois corps ; elle décrit donc alors à très-peu près une ellipse autour de ce point, et la force attractive qui la lui fait décrire est ${\frac {1+m+m'}{r^{2}}}\,;\ r+\delta r$