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En intégrant et regardant $p$ et $q$ comme constants, on aura

$\sin \varpi ={\frac {b}{\sqrt {p-q\cos 2\Pi }}},$

$b$ étant une constante arbitraire ; l’expression précédente de ${\frac {d\Pi }{dv}}$ donnera donc

$dv={\frac {d\Pi }{\sqrt {(p-q\cos 2\Pi )\left(p-b^{2}-q\cos 2\Pi \right)}}}$

équation différentielle dont l’intégration dépend de la rectification des sections coniques. On peut la mettre sous une forme plus simple, en faisant

$\operatorname {tang} \Pi ={\sqrt {\frac {p-q}{p+q}}}\operatorname {tang} \Pi '\,;$

elle devient alors

$dv={\frac {d\Pi '}{{\sqrt {p^{2}-q^{2}}}{\sqrt {1-{\cfrac {b^{2}p}{p^{2}-q^{2}}}-{\cfrac {b^{2}q}{p^{2}-q^{2}}}\cos 2\Pi '}}}}.$

Cette équation donne, en intégrant, l’expression de $\Pi '$ en $v.$ On aura ensuite, par le n^o 22 du Livre II,

$\Pi =\Pi '-{\text{ϐ}}\sin 2\Pi '+{\frac {{\text{ϐ}}^{2}}{2}}\sin 4\Pi '-{\frac {{\text{ϐ}}^{3}}{3}}\sin 6\Pi '+\ldots ,$

ϐ étant déterminé par l’équation

${\text{ϐ}}={\frac {q}{p+{\sqrt {p^{2}-q^{2}}}}}.$

36. Pour appliquer des nombres à ces formules, il faut connaître les valeurs de ${\rm {K}}$ et de ${\rm {K'.}}$ Celle de ${\rm {K}}$ est facile à déterminer, car l’attraction ${\rm {\frac {S}{D^{2}}}}$ du Soleil sur Saturne est égale à la force centrifuge due au mouvement de Saturne dans son orbite, et cette force est égale au carré de la vitesse, divisé par le rayon ; en nommant donc ${\rm {T'}}$ la durée de la révolution sidérale de Saturne et $\pi$ la demi-circonférence dont le rayon